Modelos Dinamicos Lineales Y No Lineales

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

4 MODELOS LINEALES Y NO LINEALES - REPRESENTACIÓN
EN VARIABLES DE ESTADO

Introducción

Hemos mencionado que los modelos con los que vamos a trabajar son del tipo de
ecuaciones matemáticas, más específicamente ecuaciones algebraicas, diferenciales
ordinarias o en derivadas parciales. Particularmente si queremos trabajar con modelos
dinámicos lasecuaciones diferenciales incluyen la variable tiempo. La resolución de
dichas ecuaciones diferenciales puede realizarse en el propio dominio del tiempo, en el
cual normalmente planteamos nuestro modelo, pero también, como veremos más
adelante, pueden realizarse transformaciones de dichas ecuaciones para resolverlas en el
dominio de Laplace (ver Capítulo 6) o en el dominio de la frecuencia (ver Capítulo17).
En el dominio de Laplace las ecuaciones diferenciales respecto al tiempo se transforman
normalmente en ecuaciones algebraicas. En el dominio de la frecuencia se puede
visualizar con relativa sencillez el comportamiento dinámico del sistema.
Restringiéndonos al dominio del tiempo, existe un importante desarrollo matemático
para la resolución de modelos lineales, por lo que normalmente secomienza por su
estudio; para los modelos no lineales se plantea la linealización previa en un entorno
determinado de trabajo.

Representación en variables de estado (“State - space models”)
En forma general un modelo dinámico puede escribirse como


x  f x, u 
donde x es el vector de variables de estado y u el vector de variables de entrada.
Cuando la función f es lineal tenemos elsubconjunto de los modelos lineales. En
particular la formulación de modelos en variables de estado para sistemas lineales es:


x  Ax  Bu
y  Cx  Du
donde y es el vector de variables de salida y A, B, C y D son matrices. En particular
A es la matriz jacobiana.
Veamos un ejemplo aclaratorio. Consideremos dos tanques conectados en serie tal
como se muestra en la Figura 4.1

ILM

1DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

v0

h1

1

h2
Fig. 4.1

v1

2

v2

Dos tanques de líquido conectados en serie.

Asumamos que el flujo que sale de cada tanque es proporcional a la altura de líquido
(esto no es rigurosamente cierto pero puede ser una aproximación válida en cierto
rango): vi =ihi
Realizando los correspondientes balances de materia en cada tanque, yasumiendo que
el área transversal horizontal (Ai) es constante en cada tanque:

dh1 v0 1
  h1
dt
A1 A1
dh2 v1  2



 h2  1 h1  2 h2
dt
A2 A2
A2
A2
Estas mismas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial:

 1


 h1   A1
    
h2   1
 A2



0
1
 h1   


v
    A1  0
 2  h2   0 
A2 


O bien


x  Ax  Bu
dondeh 
x   1  u  v0
h2 

ILM

 1
 A
A 1
 1
 A2



0
1
 B   A1 
2 


0
A2 


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Si tomamos las alturas como variables de salida también podemos escribir la siguiente
ecuación

y  Cx  Du
 h  1 0  h1 
y   1  
 
h2  0 1 h2 
1 0
C
 D0
0 1 

con

Linealización demodelos no lineales
Veamos primero un ejemplo de una función de una variable:

dx
 f x 
dt
Llamemos xs a la solución de estado estacionario, esto es f(xs) = 0 . Realizando una
expansión por Taylor en torno al punto de estado estacionario:

f  x   f  xs  

f
x

 x  xs   1 

2

2 x

xs

x  xs 2  ...

f
2
xs

Despreciando los términos de mayor orden

f x   f  xs  

f
x

 x  xs 
xs

Por ser estado estacionario f(xs) = 0, entonces

dx d x  xs  f


dt
dt
x

 x  xs 
xs

O definiendo la variable desviación x’ = x - xs

dx f

dt x

x
xs

dx 
  x
dt
Donde  es la derivada de la función evaluada en el punto de estado estacionario.
ILM

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Supongamos...