Modelos Matema ticos de Sistemas Fi sicos

Dinámica de Procesos ■ M.C. Xavier Tortolero B.

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Obtención de Modelos Matemáticos de Sistemas Físicos
mediante Redes de Impedancias
Sistemas Eléctricos
Las variables generalizadas son:
Potencial:
Flujo:

Voltaje,
Corriente,

v(t)
i(t)

[volts]
[amperes]

Los elementos de los sistemas eléctricos son los siguientes:

1. Capacitancia (C)
Símbolo:
Definición: Es un elemento que se opone a loscambios de potencial (voltaje).
Impedancia: Z C ( s ) =

1
sC

Extremos del Elemento: Obvios.
Representación en Red:

2. Inductancia (L)
Símbolo:
Definición: Es un elemento que se opone a los cambios de flujo (corriente).
Impedancia: Z L ( s ) = Ls
Extremos del Elemento: Obvios.
Representación en Red:

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3. Resistencia Eléctrica (R)
Símbolo:Definición: Es un disipador de energía.
Impedancia: Z R ( s ) = R
Extremos del Elemento: Obvios.
Representación en Red:

4. Transformadores
Símbolo:

Inversores

No Inversores

Modelo Matemático:
V1 (t ) = N T V2 (t )

donde N T =

n1
n2

Representación en Red:

I c 21 (t ) =

1
I 2 (t )
NT

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Sistemas Mecánico-Traslacionales
Las variables generalizadasson:
Potencial:
Flujo:

Velocidad Lineal,
Fuerza,

v(t)
f(t)

[m/s]
[N]

Los elementos de los sistemas mecánico-traslacionales son los siguientes:

1. Masa (m)
Símbolo:

Definición: Es un elemento que se opone a los cambios de potencial (velocidad).
Impedancia:

Según la Segunda Ley de Newton:
dM (t )
∑ Fext. = dt
r
donde M(t) = cantidad de movimiento, y M (t ) = mv (t )
r
dmv (t )
∴ ∑ Fext =
dt
r
rmdv (t ) v (t )dm
=
+
dt
dt
Para sistemas invariantes en el tiempo:
r
dv (t )
∑ Fext = m dt .
Sea F(t) la ΣFext, entonces:
r
dv (t )
F (t ) = m
.
dt
En Laplace:
r
F ( s) = msV ( s)
Así,
r
V ( s)
1
Z m ( s) =
=
F ( s ) sm

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Extremos del Elemento: El centro de masa y la referencia.

Representación en Red:

2. Resorte (k)
Símbolo:

Definición: Es unelemento que se opone a los cambios de flujo (fuerza).
Impedancia:

A partir de la Ley de Hooke:

donde k = constante de elasticidad,
x = extensión o compresión.
Fext = k x.
En el caso general:

r r
F = k ∫ (v1 − v 2 )dt
r
r
r
Sea v (t ) = v1 (t ) − v 2 (t ) , entonces:
r
F = k ∫ v (t )dt

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En Laplace:

Así,

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k r
F ( s) = V ( s)
s
r
V ( s) s
=
Zk (s) =
F (s) k

Extremos del Elemento: Obvios.
Representación en Red:

3. Amortiguador (b) (Fricción Viscosa)
Símbolo: Cualquiera de los siguientes:

Definición: Es un disipador de energía.
Impedancia:

En la figura anterior se muestra un fluido confinado entre dos placas paralelas,
cada una de área A y separadas por una distancia y. Mientras se mantiene la placa
inferior en reposo, se tira dela placa superior con velocidad constante v mediante
una fuerza F. Cada capa del fluido ejerce una fuerza de arrastre sobre las capas
adyacentes. La velocidad del fluido entre las placas es prácticamente igual a v en
un lugar próximo a la placa superior y próxima a cero de la placa inferior y varía
linealmente con la altura entre las placas. La fuerza F es inversamente

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proporcional a la separación y de las dos placas. El coeficiente de viscosidad del
fluido µ se define por
r
vA
F=µ
y
Se define:
b = coeficiente de fricción viscosa del caso particular
µA
=
y
y entonces:
r
F (t ) = bv (t ) .
En Laplace:
r
F ( s ) = bV ( s )
Así,
V (s) 1
Z b ( s) =
=
F (s) b
Extremos del Elemento: Obvios.
Representación en Red:

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4. Transformadores
Existen dos tipos de transformadores mecánicos traslacionales:
4.1 Transformadores Inversores
Símbolo:

Modelo Matemático:

El modelo lineal de un brazo de palanca está sujeto a las siguientes restricciones:
1) La masa del brazo es despreciable.
2) La fricción en el par cinemático (punto de giro) es despreciable.
3) Los desplazamientos angulares son...