Modelos Pep1 Algebra1

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Álgebra 1, Módulo Básico de Ingeniería
Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 2 horas

Modelo Pep1 – Forma A

P1. Lógica y Cuantificadores
a) Si la proposición (𝑝𝑝⋀~𝑞𝑞) ⟹ (~𝑟𝑟 ⟹ ~𝑡𝑡) es Falsa, determine el valor de verdad de la proposición
(𝑝𝑝⋀𝑡𝑡) ⟹ (𝑟𝑟⋁𝑞𝑞) ⟹ (𝑢𝑢 ⟺ 𝑣𝑣)
b) Determine el valor de verdad de:
i.
∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 ≥ 𝑥𝑥
ii.
∃𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2+ 2𝑥𝑥 + 1 ≤ 0
iii.
∃𝑥𝑥 ∈ ℝ: 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

P2. Inducción
Demuestre usando inducción matemática que: 11𝑛𝑛+2 + 122𝑛𝑛+1 divisible por 133 ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ

P3. Binomio de Newton
Demuestre usando el teorema del binomio que:
𝑛𝑛

𝑛𝑛
�(−1)𝑘𝑘 � � = 0
𝑘𝑘

𝑘𝑘=0

P4. Relaciones
Sea 𝑅𝑅 una relación definida en los enteros, 𝑅𝑅 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 13; 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℤ}
a) Determine 𝑧𝑧̅ especificando restricciones de dominiob) Determinar 𝑅𝑅 −1

P5. Geometría Analítica
Determine la ecuación y grafique el lugar geométrico formado por un punto que está dos veces más
alejado de (4,4) que del punto (1,1).

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Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 2 horas

Modelo Pep1 – Forma B

P1. Inducción
Sabiendo que 4 =

3
𝑢𝑢1

= 𝑢𝑢1 +

3
𝑢𝑢2= 𝑢𝑢2 +

3
𝑢𝑢3

=. . . = 𝑢𝑢𝑛𝑛 +

3
𝑢𝑢𝑛𝑛+1

; demostrar que 𝑢𝑢𝑛𝑛 =

3𝑛𝑛+1 −3
3𝑛𝑛+1 −1

P2. Progresiones
a) Interpolar dos medios armónicos entre 5 y 11.
b) Si 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 están en 𝑃𝑃. 𝐺𝐺., demostrar que: (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2 + (𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)2 + (𝑑𝑑 − 𝑏𝑏)2 = (𝑎𝑎 − 𝑑𝑑)2

P3. Sumatoria
Determine 𝑛𝑛 para el cual:

𝑛𝑛−1

2𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1

𝑘𝑘=𝑛𝑛

3 ��(𝑘𝑘 − 4)� + 6 = � (𝑘𝑘 − 4)

P4. Binomio de Newton
Encuentre el términocentral en el desarrollo de:

1 2𝑛𝑛
�𝑥𝑥 + �
𝑥𝑥

P5. Geometría Analítica
Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices

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Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 2 horas

Modelo Pep1 – Forma C

P1. Lógica (elegir uno)
a) Usando algebra proposicional,demostrar la validez del siguiente argumento:
“Si 2 es par, entonces 5 no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo o 5 es divisor de 9. Además,
11 es primo. Por tanto, 2 es impar.”
b) Si para las proposiciones 𝑝𝑝 y 𝑞𝑞, se define el operador ∗ de forma que 𝑝𝑝 ∗ 𝑞𝑞 es Falsa, si y solo si
tanto 𝑝𝑝 como 𝑞𝑞 son ambas verdaderas, en caso contrario 𝑝𝑝 ∗ 𝑞𝑞 es Verdadera. Demuestre usando
algebraproposicional que [(𝑝𝑝 ⟹ 𝑞𝑞)⋁𝑞𝑞] ⟺ [(𝑝𝑝⋀~𝑞𝑞) ∗ ~𝑞𝑞] es tautología

P2. Inducción
Demuestre ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ, que 2𝑛𝑛+4 > (𝑛𝑛 + 4)2

P3. Progresiones
a) La suma de los 6 primeros términos de una 𝑃𝑃. 𝐺𝐺. es 9 veces la suma de los 3 primeros términos,
determine su razón (𝑎𝑎0 ≠ 0, 𝑟𝑟 ≠ 1)
b) Dada la 𝑃𝑃. 𝐴𝐴.: 4,12,20,28, …
i.
Demuestre que la suma de 𝑛𝑛 términos de la sucesión es un cuadrado perfecto
ii.
Determine𝑟𝑟, si 𝑎𝑎𝑟𝑟 + 𝑎𝑎𝑟𝑟+1 = 𝑆𝑆16

P4. Relaciones
Sea 𝑅𝑅 una relación de equivalencia en 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑒𝑒} demuestre que si:
(𝑎𝑎, 𝑐𝑐), (𝑏𝑏, 𝑑𝑑) y (𝑏𝑏, 𝑐𝑐) ∈ 𝑅𝑅 ⟹ (𝑑𝑑, 𝑎𝑎) ∈ 𝑅𝑅
P5. Binomio de Newton
1
Encuentre el coeficiente de en el desarrollo de:
𝑥𝑥

1 𝑛𝑛
(1 + 𝑥𝑥) �1 + �
𝑥𝑥

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Álgebra 1, Módulo Básico de Ingeniería
Pablo Ulloa Castro

Tiempoestimado: 1.5 horas

Modelo Pep1 – Forma D

P1. Sumatoria
Si se sabe que ∑6𝑖𝑖=1(2𝑥𝑥𝑖𝑖 − 1)2 = 4 ; ∑7𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 + 1)(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 1) = 129 y 𝑥𝑥7 = −4, determine el valor de:
7

6

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

�(2𝑥𝑥𝑖𝑖 − 6) �(2𝑥𝑥𝑖𝑖 + 3)2

P2. Progresiones (elegir uno)
a) En una 𝑃𝑃. 𝐺𝐺., si los términos de lugares 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 y 𝑟𝑟 son respectivamente: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐. Demuestre que:
𝑎𝑎(𝑞𝑞−𝑟𝑟) 𝑏𝑏 (𝑟𝑟−𝑝𝑝) 𝑐𝑐 (𝑝𝑝−𝑞𝑞) = 1
b) Si 𝑏𝑏 es unmedio armónico entre 𝑎𝑎 y 𝑐𝑐, demostrar que:
1
1 1
1
+
= +
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑐𝑐
P3. Relaciones
En el conjunto de los números reales se define la relación 𝑇𝑇: (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝑇𝑇 ⟺ 𝑘𝑘 2 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 2 = 4 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑦𝑦 2
a) Determine los valores de 𝑘𝑘 para los cuales 𝑇𝑇 es simétrica
b) Determine los valores de 𝑘𝑘 para los cuales 𝑇𝑇 es refleja
P4. Geometría Analítica
Determine la ecuación de la elipse...