Momentos De Inercia I

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Física LABORATORIO DE FÍSICA I L7. MOMENTOS DE INERCIA I
OBJETIVOS • Determinar el Momento de Inercia de diferentes cuerpos, empleando el principio de conservación de la energía. • Realizar un análisis cuantitativo de las pérdidas de energía por fricción. EQUIPO • Mesa rotatoria con polea y porta pesas - 1 Disco de radio R - 1 Anillo de radios R1 yR2 • Balanza — calibrador — cronómetro y nivel. • Hojas de papel milimetrado y tubino de hilo fuerte y delgado (Los debe traer cada grupo de trabajo). MARCO TEÓRICO Cálculo teórico del momento de inercia El momento de inercia de un cuerpo es una magnitud I que depende de la masa del cuerpo y de su geometría. En él SI se mide en m2kg. El cálculo del momento de inercia es un ejercicio matemático. Unsólido rígido está compuesto por un número muy grande de partículas tan estrechas que la suma puede sustituirse por una integral, I = ∑ mi Ri2 = ∫ R 2 dm = ∫ ρR 2 dV = ρ ∫ R 2 dV
i

donde ρ es la densidad del sólido, dm = ρdV y cuando el sólido es homogéneo, su densidad es constante. Así pues, la integral se reduce a un factor geométrico. De la figura 1 se nota que R2 = x2 + y2, porconsiguiente, el momento de inercia alrededor del eje Z es I Z = ∫ ρ (x 2 + y 2 )dV con ecuaciones semejantes para IX e IY:
I X = ∫ ρ y 2 + z 2 dV

(

)

IY = ∫ ρ x 2 + z 2 dV

(

)

Si el sólido es una placa delgada, como la que se muestra en la figura 2, los momentos de inercia con respecto a los ejes IX, IY, y IZ son respectivamente: I X = ∫ ρy 2 dV I Y = ∫ ρx 2 dV I Z = ∫ ρ (x 2 + y 2 )dV =I X + I Y Sea Z un eje arbitrario y ZC un eje paralelo a Z que pasa por el centro de masa del sólido (Fig. 3). Se escogen los ejes XC, YC, y ZC, de manera que su origen este en C y el eje Y en el plano determinado por Z y ZC. Los ejes XYZ se toman de forma que Y coincida con YC. P es cualquier punto del sólido. Como P’A es perpendicular a YC y P’A = x, CA = y, OC = a, se tiene R2C = x2 +y2. Portanto, 2 2 R 2 = x 2 + ( y + a ) = x 2 + y 2 + 2 ya + a 2 = RC + 2 ya + a 2 El momento de inercia con respecto al eje Z es 2 2 I = ∑ mR 2 = ∑ m(RC + 2 ya + a 2 ) = ∑ mRC + 2a(∑ my ) + a 2 (∑ m ) El primer término es el momento de inercia IC con respecto al eje ZC y en el último, ∑m = M la masa total del sólido. Por consiguiente, I = I C + 2a ∑ my + Ma 2 Para evaluar el término restante, recordar laposición del centro de masa está dada por yCM = ∑my / y = 0 (en este caso, porque el CM coincide con el origen del sistema C). Entonces ∑my = 0 y I = I C + Ma 2 teorema de Steiner o de ejes paralelos

Figura 1

Figura 2
K= I M o I = MK 2

Figura 3

El radio de giro de un sólido es una magnitud K definida como

donde I es el momento de inercia y M es la masa del sólido. K representa ladistancia al eje en la que se puede concentrar toda la masa sin cambiar el momento de inercia, Es una magnitud útil porque para sólidos homogéneos, está determinada completamente por su geometría. En la tabla se da el momento de inercia de cuerpos con geometría sencilla, en términos del radio de giro del cuerpo. Cálculo experimental del momento de inercia Para determinar experimentalmente elmomento de inercia del disco, se lo hace rotar aplicando una fuerza mediante una cuerda enrollada al eje del disco (Fig. 1) y en cuyo extremo se le coloca una masa m (masa colgante). Considerando la ley de conservación de la energía, la masa colgante durante la caída, disminuye su energía potencial, la cual debe conservarse como la suma de la energía cinética de la masa que cuelga, la energíarotacional del disco y la energía perdida por fricción que sufre el disco, tendremos: 1 1 (1) mgd = mv 2 + Iω 2 + E fricc 2 2 donde d es la altura o distancia desde donde inicia la caída la masa colgante, g es la aceleración de la gravedad, v es la velocidad final del cuerpo, I es el momento de inercia del objeto que rota (disco, disco y anillo), ω es la velocidad angular del objeto a rotar (ω = v/r,...