MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE EJES PARALELOS

MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE EJES PARALELOS

RESUMEN: El momento de inercia se trata de una distribución continua de masa, una primera aproximación para el cálculo del momento de inercia consiste en considerar que la más total es la suma de masas infinitesimales. El valor del momento de inercia se obtendrá cuando tienda a cero la porción de masa considerada, lo que convertirá a la suma enuna integral. El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
PALABRAS CLAVE: ejes paralelos, cuerposrígidos, momento de inercia, centro de masa, sumatorias, ejes
1. MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia puede ser representado como una magnitud escalar, una representación más avanzada por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más complejos, comopor ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de lamasa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Si un cuerpo rígido no puede representarse con unas cuantas masas puntuales porque es una distribución continua de masa, la sumatoria de masas y distancias que define el momento de inercia se vuelve una integral. Imagine dividir el cuerpo en elementos de masapequeños dm de modo que todos los puntos de-un elemento estén prácticamente a la misma distancia perpendicular del eje de rotación. Llamamos a esta distancia r, como antes. El momento de inercia es entonces

donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de laspartículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
I
Para calcular la integral, debemos representar r y dm en términos de la misma variable de integración. Si tenemos un objeto efectivamente unidimensional, como las varillas de las figuras a y b, podemos usar una coordenada xa lo largo y relacionar dm con un incremento dx. Si el objeto es tridimensional suele ser más fácil expresar dm en términos de un elemento de volumen dV y la densidad p del cuerpo. La densidad es la masa por unidad de volumen, p = dmt dV, así que podemos escribir la Ecuación como
I

Si la densidad del cuerpo es uniforme, podemos sacar 𝝆 de la integral:
I
Para usar esta ecuación debemosexpresar dV en términos de diferenciales de las variables de integración, como dV = dx dy dz. Siempre debemos escoger dV de modo que todos los puntos dentro de él estén casi a la misma distancia del eje de rotación. Los límites de la integral están determinados por la forma y las dimensiones del cuerpo. En el caso de cuerpos regulares, la integración es muy fácil.

Pasos para calcular el momento deinercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área...