motor

Modelo lineal de un motor de corriente
continua.
´
F´lix Monasterio-Huelin y Alvaro Guti´rrez
e
e
16 de abril de 2012

´
Indice
1. Introducci´n
o

3

2. Ecuaciones el´ctrica y mec´nica lineales de un motor DC y
e
a
el modelo cl´sico de fricci´n.
a
o
3
3. Funciones de transferencia del motor.
3.1. Incorporaci´n de las condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . .
o

6
94. Ejemplo de modelado de un motor comercial.

11

5. Incorporaci´n de la carga en el modelo del motor.
o

15

6. Otras consideraciones sobre los motores. La eficiencia de un
motor.
17
7. Ejercicios.

20
1

´
Indice de figuras
1.

Esquema el´ctrico y mec´nico de un motor DC. . . . . . . . .
e
a

2.

Esquema de bloques de un motor DC. Gw (s) =

4

Ls + R
y
kmkm
. . . . . . . . . . . . . .
s((Ls + R)(Js + B) + kb km )

7

3.

Esquema de un motor DC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.

Esquema de un motor DC simplificado eliminando la constante
el´ctrica τe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
e

Gu (s) =

Indice de Tablas
1.

Carcater´
ısticas del fabricante. . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2.

Carcater´
ısticas de un motor DC en el Sistema Internacional
de unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

1.

Introducci´n
o

Hay muchas clases de motores el´ctricos de corriente continua. En este apare
tado se presentan las ecuaciones el´ctrica y mec´nica de una clase particular
e
a
que permite utilizar las caracter´
ısticas que suelenofrecer los fabricantes. Se
trata de un modelo matem´tico lineal excepto para la componente de fricci´n
a
o
...

2.

Ecuaciones el´ctrica y mec´nica lineales de
e
a
un motor DC y el modelo cl´sico de frica
ci´n.
o

En la Figura 1 se muestra el esquema el´ctrico y mec´nico del motor DC que
e
a
puede representarse mediante las ecuaciones siguientes:
u(t) = L

di(t)
+ Ri(t) + eb(t)
dt

(2.1)

d2 θm (t)
+ τl (t) + τf (t)
(2.2)
dt2
donde u(t) la tensi´n el´ctrica aplicada al motor, i(t) la corriente el´ctrica, θm
o e
e
la posici´n angular del eje del motor, eb (t) es la fuerza contraelectromotriz,
o
τm (t) el par motor, τl (t) el par de la carga visto desde el eje del motor, y
τf (t) el par de fricci´n. Los par´metros (L, R, J) representan la inductancia,o
a
la resitencia el´ctrica y el momento de inercia del rotor, respectivamente
e
que consideraremos constantes. La clase de motor que vamos a considerar
satisface adem´s las ecuaciones de acoplo electromec´nico siguientes:
a
a
τm (t) = J

τm (t) = km i(t)
˙
eb (t) = kb θm (t)

(2.3)

donde km es la constante del par y kb la constante de la fuerza contraelectromomotriz. Realmente kb= km pero conviene representarlas por separado ya
que los fabricantes suelen dar valores distintos para cada una de ellas debido
al sistema de unidades que utilizan. En este sentido es fundamental comprender que el modelo matem´tico debe representarse en el mismo sistema
a
3

Figura 1: Esquema el´ctrico y mec´nico de un motor DC.
e
a
de unidades. Conviene tambi´n representar lasconstantes por separado para
e
apreciar en las ecuaciones el efecto de los acoplos el´ctrico y mec´nico por
e
a
separado.
Consideraremos el modelo cl´sico de fricci´n o modelo CVS que consta de
a
o
1
tres componentes , el par de fricci´n seca o fricci´n de Coulomb τf C , el par
o
o
de fricci´n viscosa τf V y el par de fricci´n est´tica τf S ,
o
o
a
τf (t) = τf C (t) + τf V (t) + τf S(2.4)

donde
˙
τf V (t) = B θm (t)
˙
τf C (t) = τC sgn (θm (t))
˙
¨
τe (t),
|τe (t)| ≤ τS , θm (t) = θm (t) = 0
τf S (t) =
˙
¨
τS sgn (τe (t)), |τe (t)| > τS , θm (t) = 0, θm (t) = 0

(2.5)

y donde τe (t) representa el par externo,
¨
τe (t) = τm (t) − τl (t) − J θm (t)

(2.6)

Los par´metros (B, τC , τS ) representan las constantes de fricci´n viscosa, de
a
o
Coulomb...