Movimiento curvilíneo

1

Movimiento curvil´ıneo de una
part´ıcula
z

P
∆r ∆s
P

r′
r

O

t + ∆t

′

t
y

x
Figura 1: Cambio en la posici´on
Comenzaremos nuestro estudio con las definiciones fundamentales de la cinem´atica para
el movimiento curvil´ıneo de una part´ıcula respecto a un sistema de coordenadas fijo. En la
Figura 1 se ilustra la trayectoria y el cambio en la posici´on de una part´ıcula; en el tiempo
t lapart´ıcula se encuentra en el punto P y en el tiempo t + ∆t est´a ubicada en el punto
P ′ . r es el vector de posici´on respecto al origen O de nuestro sistema de coordenadas; por
lo tanto, ∆r = r ′ − r representa un cambio tanto en la direcci´on como en la magnitud
(norma o m´odulo) de r. Se define el vector velocidad media vm como el cambio en el vector
de posici´on ∆r dividido entre elincremento de tiempo ∆t:
∆r
.
(1)
∆t
1
Como se ve en la definici´on, vm se obtiene del producto entre el escalar ∆t
y el vector
∆r, por lo que el vector velocidad media est´a ubicado en el punto P y tiene la misma
direcci´on que el vector cambio de posici´on. Si el incremento de tiempo tiende a cero, el
vector velocidad media tiende a ser tangente a la trayectoria, ya que el punto P ′ tender´a a
coincidircon el punto P . Se define entonces el vector velocidad instant´anea v como:
vm =

∆r
.
(2)
∆t→0 ∆t
Si r es una funci´on vectorial de la variable escalar t (tiempo), a partir de (2) se concluye
que la velocidad instant´anea es la derivada del vector de posici´on respecto al tiempo:
v = l´ım

v=

dr
.
dt

(3)

2

Mauricio Aristiz´abal Gal´an

z

v
t

P

r

y

O
s
Po

Longitud de arco

t=0

xFigura 2: Vector velocidad
Se introduce la notaci´on de un punto sobre cualquier cantidad cuando queramos simbolizar
una derivada respecto al tiempo; es decir, si tenemos una cantidad Q,
dQ
˙
≡ Q,
(4)
dt
y por lo tanto el vector velocidad instant´anea, que de ahora en adelante llamaremos simplemente vector velocidad, podr´ıamos representarlo como:
˙
v = r.
Por lo expuesto arriba, concluimos que elvector velocidad siempre es tangente a la trayectoria (Figura 2).
La magnitud de v se conoce como velocidad v de la part´ıcula. En el caso de vm , la
velocidad media es (ver Figura 1):
∆r
∆t
|∆r |
=
∆t
PP ′
.
vm =
∆t
vm =

Evaluando el l´ımite cuando ∆t tiende a cero, obtenemos la velocidad instant´anea:
PP ′
∆t→0 ∆t
∆s
= l´ım
∆t→0 ∆t
ds
v= ,
dt

v = l´ım

(5)

3

Mauricio Aristiz´abal Gal´an

zv′
′

P

y

O
P

v

x
Figura 3: Vectores velocidad en dos puntos diferentes
donde ds es el elemento infinitesimal de longitud de arco. v es un escalar y por lo tanto es
invariante; tiene el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas. Como dt tambi´en es
invariante (escalar), de (5) se concluye que ds es un invariante. Adem´as, de (3) y (5),
dr = |dr |
dr = ds.

(6)

La Figura 3 ilustra losvectores velocidad de una part´ıcula en dos puntos de su trayectoria
(P y P ′ ). Podemos tomar estos dos vectores y hacerlos coincidir en sus or´ıgenes tal como
se muestra en la Figura 4, donde ∆v = v ′ − v representa un cambio tanto en la direcci´on
como en la magnitud o norma de v. Se define el vector aceleraci´on media am como el
cambio en el vector velocidad ∆v dividido entre el incremento de tiempo∆t:
z′
Q′
v′
O′

∆v

t + ∆t

Q
v

t
y′

x′
Figura 4: Cambio en el vector velocidad

4

Mauricio Aristiz´abal Gal´an

z′
a
Hod´ografa

v

y′

O′

x′
Figura 5: Velocidad y aceleraci´on instant´aneas

∆v
.
∆t
Se define el vector aceleraci´on instant´anea a como:
am =

∆v
.
∆t→0 ∆t
Si v es una funci´on vectorial del tiempo t, de (8),
a = l´ım

a=

dv
,
dt

(7)

(8)

(9)

o utilizando (4),
˙
a = v.El vector aceleraci´on instant´anea, al cual llamaremos de aqu´ı en adelante vector aceleraci´on, en general, no es tangente a la trayectoria de la part´ıcula; es tangente a la curva
descrita por el extremo de v; a tal curva se le conoce como hod´ografa del movimiento
(Figura 5).
En la Figura 6 se han colocado los vectores velocidad y aceleraci´on de la Figura 5 en
la curva que describe la...