movimiento en un plano

Movimiento en dos dimensiones
El movimiento de los objetos en el espacio, en muchos de los casos, se puede
estudiar como si ocurriera en un plano. Algunos ejemplos comunes de movimiento
en un plano son los proyectiles, los satélites y las partículas cargadas en campos
eléctricos uniformes.
Desplazamiento
La posición de una partícula en un plano se describe con un vector de posición r,trazado desde el origen de algún sistema de referencia hasta el punto donde se
localice la partícula, Véase la figura 1. En el tiempo ti la partícula se encuentra en
un punto P, y en algún instante posterior tf la partícula está en Q. Cuando la
partícula se mueve de P a Q en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti, el vector de
posición cambia de ri a rf.
y
Trayectoria de
la partícula

P

∆ r= ri - rf

ri

Q
rf

O

x

Figura 1.
el vector desplazamiento es igual a la diferencia entre el vector de posición final y
el vector de posición inicial:
∆r = r - r
(0.1)
f i
Nótese que, en general, la magnitud del vector desplazamiento es menor que la
distancia recorrida a lo largo de la trayectoria curva.
Velocidad

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Al igual que en una dimensión, la velocidad de unapartícula es una medida del
cambio de su posición con respecto al tiempo. Excepto que en un plano, el cambio
de posición involucra las dos componentes del vector de posición.
Velocidad promedio
La velocidad promedio de una partícula se define como la razón de su
desplazamiento ∆r entre el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t
v=

r -r
∆r
= f i
∆t
t -t
f i

(0.2)

la velocidadpromedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆r.
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio,
∆r
, conforme ∆t tiende a cero:
v=
∆t
∆r
v = lim
∆t → 0 ∆t
Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición con
respecto al tiempo. La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquierpunto de una trayectoria está a lo largo de la línea tangente a la trayectoria en ese
punto y apunta en la dirección del movimiento; esto se ilustra en la figura 2.
Rapidez
En general, la velocidad de un objeto en el plano se puede describir como un
vector con componente horizontal vx y componente vertical vy, de tal manera que
el vector velocidad en el plano se escribe como v = vxi + vyj,donde i y j son
vectores unitarios. A la magnitud del vector de velocidad instantánea se le conoce
como rapidez. Es decir,
Rapidez = (vx2 + vy2)1/2
Aceleración
Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la
partícula está acelerada.
La aceleración promedio

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En la figura 2, la velocidad de la partícula que se mueve en el plano tiene una
velocidad vi en elpunto P y una velocidad vf en el punto Q. La aceleración
promedio de la partícula en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti se define como
a=

v -v
∆v
i
= f
∆t
t -t
f i

(0.3)

y
Trayectoria de
la partícula

∆v

-vi

vf
P
ri

vi
rf

O

Q

vf
x

Figura 2.
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea, a , se define como el valor límite de la razón

∆v
∆tCuando ∆t tiende a cero:

a=

∆v
lim
∆t → 0 ∆t

(0.4)

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector
velocidad respecto al tiempo. La aceleración de una partícula que se mueve en un
plano o en el espacio tridimensional puede aparecer producida por tres
circunstancias:
1. Cuando la magnitud del vector velocidad (la rapidez) cambia con el tiempo.2. Cuando la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo, aunque su
magnitud (rapidez) permanezca constante, ejemplo el movimiento circular.
3. Cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad cambian.

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Movimiento bidimensional con aceleración constante
Consideremos el movimiento de una partícula en un plano, durante el cual la
magnitud y la dirección de la...