MTA3 respuesta 2 grupo4

ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (E.P.E.)
CÁLCULO 1
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA UNIDAD 4

TEMA: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

1. Determine el área de la región que encierra las gráficas de:
y = 4- x2 , y = 0 , x = - 2 , x = 3.
Resolución:
Graficando la región que encierran las curvas y = 4- x2 , y = 0 , x = - 2 , x = 3.
7
6
5

y
y= 4-x2

4
3
2
1

-2
−4

−3

3

2−2

−1

1

2

3

4

5

6

−1

x

−2
−3
−4

x= -2

−5
−6

x= 3

−7

∫ (4 − x )dx + ∫ − (4 − x )dx
2

El área será: A=

3

2

−2

Integrando:

2

2




A=  4 x −

1
3

1 3  2 1 3
 3
x  +  x − 4x 
3 -2 3
2
1
3

1
3

1
3

A= (4(2)- (8) )- (4(-2)- ( −8) )+[ ( 27) - 4(3)) - ( (8) -4(2))]
A= 13 u2

Respuesta: Elárea de la región encerrada por las curvas es de 13 u2.

1

2. Determine el área de la región limitada por las gráficas de las curvas cuyas ecuaciones son:
y= 2 - x , y = x 2 y x = 2 .
Resolución:
Graficando la región que encierran las curvas y= 2 - x , y = x 2 y x = 2 . Y mostrando el elemento
diferencial de área.

y

y = x2

x
y =2-x
x=2

Los puntos de intersección de las curvasse obtienen resolviendo el sistema:
y= 2 - x , y = x 2

Igualando las ecuaciones resulta:

x2 = 2-x, de donde se tiene:




A=  2 x −

A=

2

2

−2

Integrando:

x= 1

∫ (2 − x − x )dx + ∫ (x − (2 − x ))dx
1

Luego el área será: A=

x= -2 ;

2

1

1 2 1 3  1 1 3
1 2
x − x 
+  x − 2x + x 2 
2
3 −2 3
2 1

9 11
+
2 6

A= 6,33 u2

Respuesta:El área de la región encerrada por las curvas es de 6,33 u2.

2

3. La gráfica muestra la región encerrada por las curvas y - x = 5 ; y 2 = 1 − x

y

y-x=5

y2 = 1 − x
x

Encontrar el área de la región sombreada.

Resolución:
Los puntos de intersección de las curvas se obtendrán resolviendo el sistema:

y−x=5
 2
y = 1− x
Eliminando x en las ecuaciones se obtiene: y2 + y –6 = 0 , resolviendo:

y = -3, y = 2

El área sombreada la obtendremos integrando respecto a y, siendo el elemento diferencial de área:
dy
f(y) - g(y)

Donde:

f(y) = x = 1 - y2 ,

El diferencial de área es:

g(y) = x = y - 5

dA= [f(y)-g(y)]dy

 1
∫ [(1 − y ) − ( y − 5)]dy =  − 3 y

2

Luego el área es: A =

2

−3

3

−

1 2
 2
y + 6y
= 20,83 u2.
2
−3Respuesta: El área de la región encerrada por las curvas es de 20,83 u2.

3

4. Se desea construir una tina en el baño principal de una casa, la grafica muestra la vista del espejo de
agua cuyo contorno está dado por la curva parabólica ABC de ecuación y = 2 − x 2 y la curva

y = x 4 . Determine el área de la superficie del espejo de agua.
y
B
1m
A

C
1m
x
2m

Resolución:

∫[(2 − x ) − x ]dx
1

El área será: A =

2

4

−1

∫ [(2 − x ) − x ]dx
1

Por la simetría de la gráfica: A = 2

2

4

0




A=  2 x −

1 3 1 5 1
x − x  = 2,93
3
5 0

Respuesta: El área de la superficie del espejo de agua es de 2,93 m2.

∞

5. Calcule la siguiente integral impropia:

3

∫ ( x + 1)

2

dx .

1

Resolución:
∞

t
t
3
3
 − 33 3
dx = lim ∫
dx = lim− 3( x + 1) −1 = lim 
+ =
∫ ( x + 1) 2
t →∞
t →∞
1 t →∞  t + 1 2  2
( x + 1) 2

1
1

4

6. Determine si la integral

∫

1

∫

1

−∞

1
dx es convergente o divergente.
2−x

Resolución:

∫

1
−∞

1
dx = lim
t →-∞
2−x
= lim

t →-∞

t

1
1
1
dx = lim -2(2 − x) 2
t →-∞
t
2− x

[- 2(2 − 1 )

1

2

+ 2( 2 − t )1

2

]

= -2+2(+ ∞) = + ∞

Por tanto la integral es divergente.

7. Halle el volumen del sólido que se genera al hacer rotar alrededor del eje x la región limitada
por las curvas y = 1 + x , x = 2 , x = 0 , y = 0 .
Resolución:
Graficando la región limitada por las curvas y = 1 + x , x = 2 , x = 0 , y = 0 y mostrando el
elemento diferencial de volumen al girar la región respecto...