Muestreo sistemático

Cap´ıtulo 1

Muestreo sistem´
atico
El muestreo sistem´
atico es un tipo de muestreo que es aplicable cuando los
elementos de la poblaci´
on sobre la que se realiza el muestreo est´an ordenados.
Este procedimiento de muestreo se basa en tomar muestras de una manera directa y ordenada a partir de una regla determin´ıstica, tambi´en llamada sistem´atica.
Concretamente, a partir de una sola unidadque se selecciona en primer lugar, el
resto de unidades de la muestra vienen determinadas autom´aticamente al aplicarle a dicha unidad una regla selecci´on sistem´atica. Bajo este procedimiento de
muestreo, por ejemplo, seleccionamos cada vig´esimo nombre de una lista, cada
decimosegunda casa de un lado de una calle, cada quincuag´esima pieza de una
l´ınea de montaje, etc..
En este cap´ıtuloconsideramos el dise˜
no muestral sistem´atico m´as sencillo
llamado muestreo sistem´
atico uniforme de paso k. La obtenci´on de una muestra
sistem´
atica de tama˜
no n de una poblaci´on de N elementos se consigue siguiendo
el siguiente procedimiento.
1. Conseguir un listado ordenado de los N elementos de la poblaci´on.
2. Determinar el tama˜
no muestral n.
3. Definir el tama˜
no del salto sistem´aticok dado por k = N/n.
4. Elegir un n´
umero aleatorio δ entre 1 y k (δ=arrranque aleatorio). Este
numero permite obtener la primera unidad muestral.
5. A partir de la posici´
on δ, dando un salto de k unidades, obtendremos la
segunda unidad de la muestra uδ+k y de esta forma, saltando de k en k
unidades, el resto de la muestra estar´a formada por las unidades uδ+2k ,
uδ+3k , . . ., uδ+(n−1)k .Ejemplo 1 Consideramos una poblaci´
on de 5000 agricultores pertenecientes a
una determinada zona y de la que se pretende extraer una muestra sistem´
atica
de 10 agricultores. El procedimiento a seguir es el siguiente:
Definir el tama˜
no del salto sistem´
atico k = 5000/10 = 500.
1

2

Selecciona un numero aleatorio r entre 1 y 500, (por ejemplo 96).
Seleccionar los restantes elementos de la muestra,96, 96+500=596,
596+500=1096, 1596, 2096, 2596, 3096, 3596, 4096, 4596.
En realidad, bajo muestreo sistem´atico, clasificamos las unidades de la poblaci´
on en n zonas o filas de tama˜
no k, las numeramos de izquierda a derecha
empezando por la primera unidad de la primera fila y pasando a a primera
unidad de la siguiente fila una que se haya agotado la fila anterior. Una vez
numeradas las N = nkunidades podemos expresarlas de la siguiente forma:
i
1
2
3
..
.

1
u1
uk+1
u2k+1
..
.

2
u2
uk+2
u2k+2
..
.

3
u3
uk+3
u2k+3

...
...
...
...
..
.

j
uj
uk+j
u2k+j

...
...
...

k
uk
uk+k
u2k+k
..
.

i
..
.

u(i−1)k+1
..
.

u(i−1)k+2
..
.

u(i−1)k+3
..
.

...

u(i−1)k+j

...
..
.

u(i−1)k+k
..
.

n

u(n−1)k+1

u(n−1)k+2

u(n−1)k+3

...

u(n−1)k+j

...

u(n−1)k+k

Con estas especificaciones, elespacio muestral esta formado por las siguientes
k muestras posibles:
(S1 )

= {u1 , u1+k , u1+2k , . . . , u1+(n−1)k }

(S2 ) = {u2 , u2+k , u2+2k , . . . , u2+(n−1)k }
..
.
(Sk )

= {uk , uk+k , uk+2k , . . . , uk+(n−1)k }

Cada una de estas muestras tiene probabilidad igual a 1/k = n/N de ser seleccionada. Las probabilidades de inclusi´on de primer y segundo orden correspondiente a este dise˜no muestral son
πi =

p(s) =
s∈S;ui ∈s

1
n
= ,
k
N

i = 1, 2, . . . , N,

para la probabilidad de primer orden y
πij = P [(ui , uj ) ∈ s]

1/k
0

si ui y uj estan en la misma muestra
en otro caso

Ejemplo 2 Dada la poblaci´
on siguiente
ui
Xi

u1
1

u2
3

u3
5

u4
2

u5
4

u6
6

u7
2

u8
7

u9
3

se desea obtener una muestra sistem´
atica de tama˜
no 3. Determinar el espacio
muestral.

3

1.Tenemos el listado ordenado de los 9 elementos.
2. Tama˜
no muestral n = 3.
3. El tama˜
no del salto sistem´
atico es k = N/n = 9/3 = 3.
4. Elegir un numero aleatorio r entre 1 y 3.
Para r = 1, se tiene que la muestra viene dada por {u1 , u1+3 , u1+6 }.
Para r = 2, se tiene que la muestra viene dada por {u2 , u2+3 , u2+6 }.
Para r = 3, se tiene que la muestra viene dada por {u3 , u3+3 , u3+6 }.
A...