Multivariable

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PROBLEMAS PROPUESTOS.

1. Determinar los l´ ımites de integraci´n de la integral doble o regiones siguientes: i) S es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (2, 1), (−2, 1). a e
S

f (x, y) dxdy para las

ii) S est´ limitado por las dos √ a rectas x = −2, x = 2 y por las dos ramas de la √ hip´rbola y = 1 + x2 , y = − 1 + x2 . e iii) S es el anillo 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4. Resp.:
1 2y

i)
S

f (x,y) dxdy =
0

dy
−2y

f (x, y) dx.

ii) Observando la figura se obtiene inmediatamente que
2 √ 1+x2

f (x, y) dxdy =
S −2

dx

√ − 1+x2

f (x, y) dy.

x=-2 -2

1

x=2 2

-1

2



iii)
S

f (x, y) dxdy =
1

du
0

u · f (u cos v, u sen v) dv.

x

t

x

2. Probar que
0

dt
0

F (u) du =
0

(x − u)F (u) du.

Resp.: Al invertir el orden deintegraci´n, resulta o
x t x x x

dt
0 0

F (u) du =
0

du
u

F (u) dt =
0

(x − u)F (u) du.

3. Sea R la mayor de las dos regiones limitadas por la circunferencia x2 + y 2 = 25 y la recta x = 3. Escribir los l´ ımites de integraci´n de la integral o a ambos ordenes de integraci´n. ´ o 1
R

f correspondientes

3



25−x2

−4




25−y 2

Resp.: I =
−5 4

dx3

√ − 25−x2

f (x, y) dy =
5

dy −5 √




f (x, y) dx
25−y 2

25−y 2

+
−4

dy





f (x, y) dx +
25−y 2 4

dy



f (x, y) dx.
25−y 2

4. Cambiar el orden de integraci´n en las siguientes integrales dobles. o
9π/4 cos x

a)
3π/2 1

dx
sen x x2/3

f (x, y) dy.
2 √ 1− 4x−x2 −3

b)
0

dx
0

f (x, y) dy +
1

dx
0 √

f (x, y) dy.Resp.:
0 2π+arc sen y 2/2 2π+arc sen y

a) I =
−1 1

dy
3π/2 2π+arc cos y √

f dx +
0

dy
2π−arc cos y

f dx

+

dy
2/2 1 2π−arc cos y 2−

f dx. √
1−(y−1)2

b) I =
0

dy
y 3/2

f (x, y) dx.

5. Dibujar la regi´n de integraci´n e invertir el orden de integraci´n en los siguientes o o o casos:
1 3x

(a)
0 1

dx
2x x2

f (x, y) dy. f (x, y) dy.
x3 1−y

(b)
01

dx dy
0 π

(c) (d)
0





f (x, y) dx.
1−y 2

sen x

dx
0

f (x, y) dy.

Resp.:
2 y/2 3 1

(a)
0 1

dy
y/3 √ 3 y

f (x, y) dx +
2

dy
y/3

f (x, y) dx.

(b)
0 0

dy



f (x, y) dx.
1−x2 1 1−x

y √

(c)
−1 1

dx
0

f (x, y) dy +
0 π−arc sen y

dx
0

f (x, y) dy.

(d)
0

dy
arc sen y

f (x, y) dx.

2

6. Siendo eldominio D el tri´ngulo definido por las rectas x = 0, y = 0, x + y = 2, a hallar I =
D

(x − 2y) dxdy.

Resp.: I = −4/3. 7. Calcular
a


0

a2 −y 2

(a)
0

dy
2a √

(x2 + y 2 ) dx (a > 0).
2ax−x2

(b)
0

dx
0

dy.

Resp.: (a) a4 π/8; (b) a2 π/2. 8. Calcular las siguientes integrales y dibujar la regi´n de integraci´n: o o i)
|x|+|y|≤1 4 2

|x| dxdy. dy
0 2 y/2 1ii) iii)
1 1

ex dx. x2 dy. y2

2

dx
1/x 1

iv)
0 0

dx
x

(x + y) dy.
2(1−x2 )1/2

v)
−1

dx
0

x dy.

Resp.: i) 2/3; ii) e4 − 1; iii) 17/12; iv) 1/2; v) −2/3. 9. Dada la siguiente integral
1 y 2 2−y

I=
0 0

(x2 + y 2 ) dx dy +
1 0

(x2 + y 2 ) dx dy

(a) Dibujar la regi´n de integraci´n. o o (b) Expresar la integral invirtiendo el orden de integraci´n. o (c)Resolver la integral.
1 2−x

Resp.: I =
0

dx
x

(x2 + y 2 ) dy = 4/3.

4

y−4 2

10. Dada la siguiente integral
0

dy

√ − 4−y

dx:

a) Dibujar la regi´n de integraci´n. o o 3

b) Invertir el orden de integraci´n. o c) Resolver la integral.
0 4−x2

Resp.: I =
−2

dx
2x+4

dy = 4/3.

11. Contestar verdadero o falso a los siguientes planteamientos, justificandosu respuesta: a) Sea z = f (x, y) una funci´n definida en el c´ o ırculo R de centro el origen y radio a, y que verifica f (x, y) = −f (−x, −y), ∀(x, y) ∈ R. Entonces
R 1

f (x, y) dxdy = 0. f (u) du.
−1

b) Si S = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}, entonces
S

f (x + y) dxdy =

Resp.: a) Verdadero (hacer el cambio de variables u = −x, v = −y). b) Verdadero (hacer el cambio de variables u = x +...
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