Método simplex
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Publicado: 20 de agosto de 2012
METODO SIMPLEX
SOLUCIÓN GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL.
Para modelos con dos variables, es posible resolverlos en forma grafica, para modelos con tres o mas variables, el método grafico es impráctico o imposible. Una solución grafica bidimensional de hecho, casi no tiene utilidad en situaciones reales, sin embargo ofrece la oportunidad para entender como funciona el proceso deoptimización en la programación lineal, presenta además el concepto de análisis de sensibilidad de manera lógica y comprensible.
Los pasos para graficar un problema lineal son:
Pasó 1. Graficar las soluciones factibles o espacio de soluciones que satisfaga todas las restricciones en forma simultanea.
Paso 2. Encontrar la solución optima, desplazando la recta de la Función objetivocuesta arriba hasta el punto donde cualquier incremento adicional en el ingreso producirá una solución factible.
Ejemplo: Una compañía que se dedica a elaborar pinturas, utiliza dos materiales básicos A y B, para producir pinturas de interiores y exteriores de casa, para su distribución al mayoreo. La disponibilidad máxima de la materia prima A es de 6 Ton/día, y la de la materia prima B esde 8 Ton/día. Los requerimientos diarios de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se muestran en la tabla 2.1.
| |Toneladas de materia prima/Tonelada de pintura| |
| |Pintura para |Pintura para |Requerimientos Ton/día |
||exteriores. |interiores. | |
|Materia prima A |1 |2 |6 |
|Materia prima B |2 |1 |8 |
Tabla 2.1
Un estudio de mercadoestablece que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada, de igual manera el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos ton/día.
El precio al mayoreo es de 9000 $/ton para pintura de exteriores y 6000 $/ton para pintura de interiores.
¿Cuál debe ser la cantidad de pintura parainteriores y exteriores que la compañía debe producir diariamente para que el ingreso sea máximo?
Solución. Sea XE = ton/día de pintura de exteriores.
XI = ton/día de pintura de interiores.
La función objetivo y las restricciones del sistema son:
Maximizar Z=9000XE + 6000XI
Sujeto a: XE + 2XI ≤ 62XE + XI ≤ 8
XI - XE ≤ 1
XI ≤ 2
XI, XE ≥ 0
Numerando las ecuaciones para graficar y encontrar el espacio de soluciones.
XE + 2XI ≤ 6 Ecuación 1
2XE + XI ≤ 8 Ecuación 2
XI -XE ≤ 1 Ecuación 3
XI ≤ 2 Ecuación 4
XI≥ 0 Ecuación 5
XE ≥ 0 Ecuación 6
La figura 2.1 muestra el espacio de soluciones y la solución optima.
Figura 2.1
TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX.
El método grafico muestra que la solución optima esta siempre asociada conun punto extremo o de esquina, del espacio de soluciones. El método simplex traslada la definición geométrica del punto extremo a una definición algebraica. Como primer paso el método simplex necesita que cada una de las restricciones este en una forma estándar especial, en la que todas las restricciones se expresen como ecuaciones, mediante la adición de variables de holgura o de exceso,...
SOLUCIÓN GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL.
Para modelos con dos variables, es posible resolverlos en forma grafica, para modelos con tres o mas variables, el método grafico es impráctico o imposible. Una solución grafica bidimensional de hecho, casi no tiene utilidad en situaciones reales, sin embargo ofrece la oportunidad para entender como funciona el proceso deoptimización en la programación lineal, presenta además el concepto de análisis de sensibilidad de manera lógica y comprensible.
Los pasos para graficar un problema lineal son:
Pasó 1. Graficar las soluciones factibles o espacio de soluciones que satisfaga todas las restricciones en forma simultanea.
Paso 2. Encontrar la solución optima, desplazando la recta de la Función objetivocuesta arriba hasta el punto donde cualquier incremento adicional en el ingreso producirá una solución factible.
Ejemplo: Una compañía que se dedica a elaborar pinturas, utiliza dos materiales básicos A y B, para producir pinturas de interiores y exteriores de casa, para su distribución al mayoreo. La disponibilidad máxima de la materia prima A es de 6 Ton/día, y la de la materia prima B esde 8 Ton/día. Los requerimientos diarios de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se muestran en la tabla 2.1.
| |Toneladas de materia prima/Tonelada de pintura| |
| |Pintura para |Pintura para |Requerimientos Ton/día |
||exteriores. |interiores. | |
|Materia prima A |1 |2 |6 |
|Materia prima B |2 |1 |8 |
Tabla 2.1
Un estudio de mercadoestablece que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada, de igual manera el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos ton/día.
El precio al mayoreo es de 9000 $/ton para pintura de exteriores y 6000 $/ton para pintura de interiores.
¿Cuál debe ser la cantidad de pintura parainteriores y exteriores que la compañía debe producir diariamente para que el ingreso sea máximo?
Solución. Sea XE = ton/día de pintura de exteriores.
XI = ton/día de pintura de interiores.
La función objetivo y las restricciones del sistema son:
Maximizar Z=9000XE + 6000XI
Sujeto a: XE + 2XI ≤ 62XE + XI ≤ 8
XI - XE ≤ 1
XI ≤ 2
XI, XE ≥ 0
Numerando las ecuaciones para graficar y encontrar el espacio de soluciones.
XE + 2XI ≤ 6 Ecuación 1
2XE + XI ≤ 8 Ecuación 2
XI -XE ≤ 1 Ecuación 3
XI ≤ 2 Ecuación 4
XI≥ 0 Ecuación 5
XE ≥ 0 Ecuación 6
La figura 2.1 muestra el espacio de soluciones y la solución optima.
Figura 2.1
TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX.
El método grafico muestra que la solución optima esta siempre asociada conun punto extremo o de esquina, del espacio de soluciones. El método simplex traslada la definición geométrica del punto extremo a una definición algebraica. Como primer paso el método simplex necesita que cada una de las restricciones este en una forma estándar especial, en la que todas las restricciones se expresen como ecuaciones, mediante la adición de variables de holgura o de exceso,...
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