métodos de integracion



MÉTODOS DE INTEGRACIÓN APROXIMADA

El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios, en el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer grado). Es evidente que se conseguirá mayor precisión en la medida en quetengamos un número mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptación de las cuerdas a la función mejora, tal y como podemos ver en las figuras siguientes.














El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre ordenadas consecutivas y sumarlos todos. Aquí partimos de que la separación entre ordenadasconsecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa





El trapecio entre y0 e y1 tendrá el área:


Área0
 alfa  y0  y1
2

y el siguiente trapecio:


Área1
 alfa  y1  y 2
2

y así sucesivamente, con lo que sacando factor común y arreglando los coeficientes nos queda:


Área
 alfa   y0  y  y

 y 
y 4 


T  2
1 2 3 2 




Otro método es el deSimpson. Aquí en vez de cuerdas, sustituimos la función por un polinomio de segundo grado (función cuadrática). Al ser una curva suave su adaptación será mejor que en el método anterior. Puesto que aplicamos una función de segundo grado, podemos integrar esta función y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separación, podamos calcular el área. Veamos la primeraregla de Simpson














La función es
y  a x 2  b x  c
pero también podemos poner:

2

integramos para determinar el área:
2
y0  ax0
y  c
 bx0  c
que al ser
x0  0

Área  ∫0
2
f ( x)dx
0
y1 

ax 2

 bx1  c

que al ser

x1  

Área  ∫0
ydx
y  a 2  b  c

2
Área  ax2  bx  c dx
0
y  ax 2  bx  cque al ser
x2  2


 ax3
2
bx2 
y 2  a2 
 b2  c

Área   
 3
 cx
2 0
y 2  4a
 2b  c

Área  a2 
3
3
 b2 
2
2

 c2
si tomamos 1y0  4 y1  1y2  tenemos:
c  4a 2  4b  4c  4a 2  2b  c

Área  8a
3
 4b
2

 2c


que equivale a:

sacamos factor común
 / 3
2

Área   8a 2  6b  6c
3
8a
6b  6c


Vemos que se puede sustituir:


Área 
y0  4 y1  y 2 
3

Ahora pongamos ordenadas de un área anexa

















Si aplicamos lo anterior a las ordenadas siguientes, al sumar todo tendremos:



ÁreaTOTAL 
3

 y0  4 y1  y 2  
3


y 2  4 y3  y 4 

ÁreaTOTAL 

y0  4 y1  2 y 2  4 y3  y 4 
3De aquí podemos sacar la secuencia de coeficientes para las distintas ordenadas. La única limitación es, la de que el número de ordenadas debe ser impar (atención al subíndice 0) y por lo tanto el número de intervalos deberá ser par. Los coeficientes serán:

1 4 1
1 4 2 4 1
1 4 2 4 2 4 1
1 4 2 4 2 4 2 4 1
1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

Y así sucesivamente.

En el caso de tener un número deintervalos múltiplo de 3, se podrá aplicar la segunda regla de Simpson, en la que se sustituye la curva por una parábola cúbica, tal y como vemos en el siguiente gráfico preparado para el caso inicial de cuatro ordenadas y tres intervalos iguales, necesarios para la función de tercer grado:



















Procediendo de una manera similar a la anterior


y ax 3  bx 2  cx  d
y  ax3  bx 2  cx  d
al ser x  0


3
A  ∫0

ydx
0 0 0 0 0
y0  d
3 2


 ax 4

bx 3
3
cx 2 
y1  ax1  bx1  cx1  d

A   4
 3  2  dx
y1  a
 b 2
 c  d

  0
y  ax3  bx2  cx  d

a3 4
b3 3
c3 2
3
2 2 2 2
3 2

A     d
4 3 2
y2  a2 
3
 b2 
2
 c2   d...