Métodos de interpolación y ajuste

I. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN Y AJUSTE

I.1. INTRODUCCIÓN

Es frecuente la necesidad de buscar funciones apropiadas a partir de datos que proceden de una población en la que se ha realizado un registro de informaciones o estudio estadístico, para que cumplan determinadas condiciones que nos interesen, como que sean continuas, derivables, etc. Con este objetivo trataremos de plantear distintosprocedimientos para realizar la búsqueda de estas funciones, bien buscando una función que pase exactamente por una serie de puntos (función de interpolación) o bien que esa función elegida por nosotros se adapte lo mejor posible a una serie o a una nube de puntos (función de ajuste o regresión).

La finalidad del cálculo de las funciones de interpolación se centra en la necesidad de obtenervalores intermedios (INTERPOLACIÓN) o de valores fuera del intervalo para el que se dispone de datos (EXTRAPOLACIÓN).

I.2. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN

Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en un punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose únicamente una serie de puntos. La resolución aproximada delproblema consiste en encontrar una función fácil de construir y de evaluar, que coincide con la función objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la función así construida interpola a la función dada con respecto a los datos.

Se trata de determinar fundamentalmente dos cosas:

1. Los datos que se desea que sean comunes a la función desconocida y a la funcióninterpoladora.

2. Que tipo de función se va a utilizar como función interpoladora o función de interpolación.

I.2.1. Interpolación polinómica.

Se puede plantear como ejemplo lo siguiente: Sea f una función de una variable cuyo valor se conoce en n + 1 puntos: , llamaremos:


y se desea calcular su valor aproximado para una valor cualquiera de x.

La literatura matemática clásica, utiliza unafunción interpoladora de tipo polinómico de grado no mayor que n, siendo n el número de puntos conocidos menos uno.


I.2.1.1. Método matricial

Así, dada una función , de la que se conocen en n+1 puntos . Se trata de buscar un polinomio de grado n que pase por los puntos de forma que:



las condiciones impuestas determinan que los coeficientes deben verificar:

para i =0,1,....., n
la existencia y unicidad del sistema depende del determinante de Vandermonde siguiente:



que desarrollándolo, obtenemos:



si los son distintos, se tendrá con lo que el sistema tendrá solución única.

Expresándolo en forma matricial:

e

, por tanto, despejando

Ejemplo:

Construir el polinomio interpolador que pase por los puntos:construyendo la matriz:



y el vector de ordenadas:


se comprueba que:



siendo su inversa:



Por tanto:





obteniéndose el polinomio interpolador:



Ahora bien, para obtener los polinomios de interpolación existen otros métodos, como los siguientes:

- Polinomios de Lagrange

- Polinomios de Interpolación parabólica progresiva.

- Polinomios de Newton.

-Polinomios de Gauss.

I.2.1.2. Métodos de Interpolación parabólica progresiva:

El método de Interpolación parabólica progresiva es recurrente y se basa en la idea de utilizar la interpolación introduciendo progresivamente dos, tres, cuatro puntos, etc. Esto es:



donde:



Ejemplo:

Construir el polinomio interpolador por el método de Interpolación parabólica progresiva, que pasepor los puntos:



Se construyen los polinomios introduciendo progresivamente los puntos, de la siguiente manera:

- En primer lugar se calcula la recta que pasa por los puntos:









- A continuación se construye una parábola cuadrática que pase por los puntos:





siendo:



y sustituyendo:





- Y finalmente la parábola cúbica que pasa por los cuatro...