Métodos numericos

Método de bisección
Bernard Bolzano

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, Bohemia (actual República Checa), 5 de octubre de 1781 – ídem, 18 de diciembre de 1848), conocido como Bernard Bolzano fue un matemático, lógico, filósofo y teólogo bohemio que escribió en alemán y que realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la Teoría del conocimiento. Ha sido reconocido comoel Rafael Alberti de la filosofía y las matemáticas.
En matemáticas, se le conoce por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que esbozó como lema de otro trabajo en 1817, y décadas después habría de desarrollar Karl Weierstrass1
En su filosofía, Bolzano criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas, y las verdades existen de modoindependiente a las personas que los piensen.
En 1796 Bolzano se inscribió en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Durante sus estudios escribió: "Mi especial predilección por las Matemáticas se basa de modo particular en sus aspectos especulativos, en otras palabras, aprecio mucho la parte de las Matemáticas que es al mismo tiempo Filosofía." En otoño de1800 empezó a estudiarTeología. Se dedicó a ello los siguientes tres años, durante los que también preparó su tesis doctoral en Geometría. Consiguió el doctorado en1804, tras haber redactado una tesis en la que expresaba su opinión sobre las Matemáticas y sobre las características de una correcta demostración matemática. En el prólogo escribió: "No podría sentirme satisfecho por una demostración estrictamente rigurosa, si éstano derivase de los conceptos contenidos en la tesis que debe demostrarse."
Dos años después de ser nombrado doctor, Bolzano se ordenó como sacerdote católico romano. Sin embargo, su auténtica vocación era la docencia, y en 1804 obtuvo la cátedra de Filosofía y Religión en la Universidad de Praga. En relación con esta cátedra hay que señalar que en aquella época, por la expansión del entusiasmosuscitado por la Revolución francesa se habían desarrollado los primeros movimientos políticos que reivindicaban la libertad de pensamiento y la independencia de las comunidades nacionales. Estas reivindicaciones preocupaban mucho a los estados autoritarios, y en especial al Imperio austríaco, en cuyos límites se integraban numerosos grupos étnicos muy distintos entre los que iban naciendomovimientos nacionalistas. Para contrarrestar estos movimientos, el Imperio austríaco, de acuerdo con la Iglesia católica, que estaba claramente alineada en posiciones conservadoras frente a las procedentes de la revolución francesa, llevaba a cabo una serie de iniciativas. Entre estas estaba la de instituir una cátedra de Filosofía de la Religión en cada Universidad, que se erigiera como baluarte contrala libertad de pensamiento y contra las posiciones nacionalistas.

Método
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio designo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.
Algoritmo
Paso 1
Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:
f(Xa)f(Xb) < 0
Paso 2
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Paso 3
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
a. Si f(Xa)f(Xb) < 0,entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
b. Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).
Paso 4
Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia
Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior....