Números complejos

Ingeniería en Sistemas Computacionales
Algebra Lineal
Números Complejos
Junio 2011

NUMEROS COMPLEJOS
Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra alconjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:
Suma.
Multiplicación.
En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Noteque la suma y producto de pares no está definida en .
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad.
Multiplicación por un escalar.donde .
Ejemplo. Dados y , hallar:
a)
b)
c)
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En estarepresentación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .
Gráfica 1: Representación del número complejo .
Podemos considerar que los números reales estáncontenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real .
De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginariospuros.
Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :

Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:
.
Denotaremos el númerocomplejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

División de números complejos
La divisiónde números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:

Ejemplo. Dados y , halle: (a) y (b) .
(a) Como entonces
(b) Para hallarmultiplicamos y dividimos por el conjugado .

Forma trigonométrica o polar de un número complejo
La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura...