Números estelares bi

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NÚMEROS ESTELARES
Objetivo: En esta tarea se considerarán figuras geométricas que llevan a números especiales. Entre ellos, el ejemplo más sencillo lo constituyen los números cuadrados 1, 4,9, 16, que pueden ser representados mediante cuadrados de lados 1, 2, 3 y 4 respectivamente.
Los siguientes diagramas muestran un diseño triangular de puntos uniformemente espaciados.
Los números de puntosen cada diagrama son ejemplo de números triangulares (1, 3, 6, …).

Complete la progresión de números triangulares con tres términos más.
Para encontrar el número de puntos en cada término se suma al número de puntos el número de término siguiente. Por lo tanto tenemos que:
* 15 + 6 = 21
* 21 + 7 = 28
* 28 + 8 = 36

Halle una proposición general que represente al enésimo númerotriangular, en función de n.
Sabemos que el número de puntos en cada término es igual a la suma del término más todos los términos anteriores. Por ejemplo:
S2=1+2
S4=1+2+3+4
S6=1+2+3+4+5+6
S8=1+2+3+4+5+6+7+8
Sabiendo esto se puede deducir que en todos los términos al cuadrado dará un producto mayor al número de puntos contenidos en el término excepto en el primero que el cuadrado del términoserá igual al número de puntos contenido en él. Sabiendo esto podemos usar el cuadrado del término dividido entre algún número para que el valor se reduzca y sea menor que la cantidad de puntos. El primer número con el que se probará es con el dos.
12/2 = 0.5
22/2 = 2
32/2 = 4.5
42/2 = 8
Observando estos resultados se confirma que siempre que el término sea elevado al cuadrado y divididoentre dos el cociente será menor al número de puntos. Finalmente se debe de encontrar un número que al sumarlo nos de cómo total el número de puntos de la progresión.
Observando el patrón de comportamiento de las operaciones de arriba se puede concluir que se le debe de sumar el número de término dividido entre dos. Finalmente la fórmula para el número enésimo en función de n es:
Sn =n22+n2Considere las figuras estelares (con forma de estrella) de p vértices, que llevan a los números p-estelares. A continuación se observan, en cuatro etapas, S1-S4, las primeras cuatro representaciones correspondientes a una estrella de seis vértices. El número 6-estelar en cada etapa es el número total de puntos que contiene el diagrama.

Halle el número de puntos (es decir, el número estelar) en cadaetapa, hasta la S6. Organice la información de manera que pueda reconocer y describir patrones o regularidades.
Sabemos que: S1 = 1, S2 = 13, S3 = 37, S4 = 73 y que el número de vértices es 6. Observando los patrones del incremento de los puntos se deduce que el número de puntos es igual al número del término multiplicado por el número del término anterior y ese producto es multiplicado porseis. Sumando el valor de uno al producto final encontramos el número de puntos de cada término, entonces S5 = 121, S6 = 181.

Halle una expresión para el número 6-estelar en la etapa S7.
Para encontrar una expresión para el número de puntos en el término 7 debemos multiplicar el término que se busca por el término anterior a él, el producto se debe multiplicar por el número de picos de la estrella(en este caso seis) y al producto final sumarle uno. Por lo tanto;
S7=7×66+1
S7=253

Halle una proposición general para el número 6-estelar en la etapa Sn, en función de n.
Observando el patrón de aumento de los puntos en cada estrella es claro que:
S1=1
S2=13
S3=37
S4=73
Se puede observar que el número de puntos en el término es el número de término multiplicado por el términoanterior, ese producto multiplicado por 6 y el producto final más uno. La expresión final es la siguiente:

sn=nn-16+1

Repita ahora los pasos anteriores para otros valores de p.
Si asignamos a p el valor de 5 sabemos que S1 = 1, S2 = 11, S3 = 31, S4 = 61

Entonces:
S1 = 1
S2 = 11
S3 = 31
S4 = 61
Si sabemos que los puntos de vértice a vértice aumentan de uno en uno, podemos calcular que:...
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