Numeros estelares

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“Números Estelares”
Introducción: En este trabajo realizaremos una investigación de patrones dentro del tema de números especiales. Este tipo de números suelen presentarse en figuras geométricas, el ejemplo más claro lo constituyen los números cuadrados 1, 4, 9, 16 que pueden ser representados mediante cuadrados de 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El trabajo se dividirá en dos tipos de figurasespeciales: la primera parte será acerca de números de puntos que pueden formar triángulos, mientras que la segunda será acerca de números de puntos que pueden formar estrellas. Entre los ejercicios que se realizarán, podemos encontrar completar diagramas de las figuras, hallar expresiones que nos permitan encontrar el número de puntos de las figuran que continúan en las series, encontrar alcances ylimitaciones a la investigación, entre algunas otras.
Los siguientes diagramas muestran un diseño triangular de puntos uniformemente espaciados. Los números de puntos en cada diagrama son ejemplos de números triangulares (1, 3, 6,…).

1 3 6 10 15
A continuación se completará la serie aumentando las tres figuras o términos siguientes y se anotará pordebajo de ellas el número de puntos que tienen.


21 28 36
En seguida lo que se realizará, será obtener una proposición general que represente el enésimo término triangular, en función de n.
El primer paso a realizar es construir una tabla, con una columna con el número de término y otra con los números triangulares (la información la obtenemos de lasfiguras elaboradas).

Número de término: n Número triangular: t (n)
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
Tabla 1. Relación entre l número de término y el número triangular.
A partir de la tabla podemos observar que los números triangulares son resultados de dos factores; es decir, no son números primos (sin contar el 1, y el 3 es resultado de 3x1=3 a pesar de ser primo).
Para conocerla fórmula empezamos a formular ecuaciones con los resultados que ya conocemos (los de la tabla 1). En la segunda etapa para poder llegar de 2 (número de término) a 3 (número triangular) se debe de agregar otro elemento: es decir se puede sumar o multiplicar. Las diferencias entre los términos de la serie no son constantes, debido a que cada vez esta va cambiado y es mayor, por lo que seríacomplicado sumar algo que no es constante, por ejemplo:
Etapas Diferencias
Primera diferencia (entre uno y dos). 3 – 1 = 2
Segunda diferencia (entre tres y dos). 6 – 3 = 3
Tercera diferencia (entre cuatro y tres). 10 – 6 = 4. Y así sucesivamente.
Tabla 1.1 Relación entre las diferencias conforme avanzan las etapas.
De modo que, ahora intentaremos formular alguna ecuación donde no se tenga quesumar algún valor (la diferencia no es constante), sino se utilizará la multiplicación. Pero como no hay factor entero positivo que se multiplique por dos y de cómo resultado tres (segunda término), también debe de haber un paso donde haya alguna división. De este modo:

Donde u y v son variables que representan números enteros positivos.
Ahora, se formula una ecuación para el siguiente término.Donde u y v son variables que representan números enteros positivos.
Para que la primera ecuación sea válida, u podría adquirir el valor de 3 y v el de 2:

Del mismo modo, para que la segunda ecuación sea válida, u podría adquirir el valor de 4 y v nuevamente el de 2:

Si las ecuaciones se observan con detenimiento, el factor por el cual n se multiplica es en ambos casos uno más que n;es decir, n + 1. Y el valor por el cual se divide es en ambos casos una constante: 2.
Si se relaciona este análisis con la información de la tabla, se puede observar como al multiplicar el número del término por el siguiente y dividirlo entre dos nos da el resultado del número triangular; por ejemplo:
4 * = 20/2 = 10
10
5 15
Y si continuamos haciendo este procedimiento con los...
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