Números metálicos

seeeNÚMEROS METÁLICOS

Vamos a ver en esta sesión varios ejemplos de una de las actividades más fructíferas de las matemáticas como es la generalización.

Los orígenes. El número de oro.
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.III a.C.), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simplecomo perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. En un segmento de longitud unidad tenemos
[pic]
De la definición [pic], de donde [pic], ecuación de 2º grado de soluciones [pic], tomando la solución positiva la razón de la proporción es:[pic]= nº áureoLa figura plana que mejor representa la idea de proporción en el plano es el rectángulo. El rectángulo áureo es aquel que tiene la medida de sus lados en esa proporción. Para construir el rectángulo áureo se parte de un cuadrado ABCD, por el punto medio M de uno de sus lados, se traza el segmento que lo une con uno de los vértices del lado opuesto, D, que se abate circularmente sobre laprolongación del lado AB obteniéndose así el lado mayor del rectángulo siendo el menor el lado del cuadrado (figura 1)

[pic]
figura 1

EJERCICIO 1: Comprobar que los rectángulos [pic] y [pic] son semejantes
EJERCICIO 2: Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales, como se indica en la figura 2, la diagonal AC pasa por el vértice B. Demostrar que esto esasí
[pic]
figura 2
EJERCICIO 3: Demostrar que [pic] representa la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular.

EJERCICIO 4: Demuestra los siguientes resultados relativos al número de oro:
a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]; d)[pic]
e) [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic],..

EJERCICIO 5: El triángulo áureo
Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo están enprogresión geométrica. Hallar el valor de la razón de la progresión y las tangentes de los dos ángulos agudos.

EJERCICIO 6: (Olimpiada Matemática. Fase Nacional. Tarragona 1996)
La figura 3 se compone de seis pentágonos regulares de lado 1m. Se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice.
[pic]
figura 3
¿Qué volumen de aguacabe en el recipiente formado?

Leonardo de Pisa (1170 – 1250), más conocido por Fibonacci (que significa hijo de Bonaccio), cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, es conocido sobre todo a causa de un matemático francés, Edouard Lucas (1842 – 1891), interesado por la teoría de números. Lucas efectuó un profundo estudio de las llamadas sucesiones generalizadas deFibonacci, que comienzan por dos enteros positivos cualesquiera y a partir de ahí, cada número de la sucesión es suma de los dos precedentes.[pic], Lucas dio el nombre de sucesión de Fibonacci a la más sencilla de estas sucesiones [pic], a saber: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (otra también sencilla [pic]: 1, 3, 4, 7, 11, 18..., es conocida por sucesión de Lucas [pic]).

Del ejercicio 4 e) sepuede intuir y es fácil demostrar que la sucesión[pic] de números es una progresión geométrica en la que cada término, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos anteriores, es decir, que es una sucesión de Fibonacci y a su vez el límite de las razones de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es [pic] (Si nos fijamos bien [pic], no sólo las potencias de [pic], sino cualquierpolinomio de cualquier grado [pic]se puede expresar en la forma [pic], con a y b enteros).
La íntima relación existente entre la sucesión de Fibonacci y la razón áurea queda de manifiesto en la siguiente fórmula explícita para el n -ésimo término de Fibonacci:[pic]; mientras que el n-ésimo término de la sucesión de Lucas es [pic]

La sucesión de Fibonacci se puede “visualizar”...