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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD CS. NATURALES MATEMATICA Y M.AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

DERIVADA IMPLICITA
Resumen
• Funci´n impl´
o
ıcita: Se dice que y es unafunci´n impl´
o
ıcita de x cuando se escribe en
la forma f (x, y) = 0
• Derivada de la funci´n impl´
o
ıcita: Para obtener y , se deriva la ecuaci´n f (x, y) = 0
o
con respecto a x teniendo presenteque y es funci´n de x , luego se despeja y . Si se
o
desea obtener x , se deriva la ecuaci´n f (x, y) = 0 con respecto a y teniendo presente
o
que x es funci´n de y , luego se despeja x .
oEjercicios propuestos
1. Mediante derivaci´n impl´
o
ıcita obtener y
a) x + xy + y = 2

j ) x2 y + x2 − y 2 = 2

b) x2 − xy + y 2 = 3

k ) y = e2x−2y

c) x2 y − xy 2 + x2 + y 2 = 0

l ) y2 − ln(x2 + y 2 ) = 2

d ) sen(y) = cos(2x)

m) y = sen (xy)

e) cos(3y) = tg(2x)

n) sen (x) = x(1 + tg (y))

f ) xy + x − 2y − 1 = 0
g) x2 y + x2 + y 2 = 2

n) cot (y) = x − y
˜

h)x − 2xy + y 2 = 2

o) 2 sen (x) cos (y) = 1

i ) x2 − xy − y 2 = 2

1
p) x = sec ( y )

Respuestas
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =

−1−y
x+1
2x−y
x−2y

g) y = − 2x(y+1)
x2 +2y

y 2−2x−2xy
x2 +2y−2xy
sen (2x)
− 2 cos (y)
2

(2x)
e) y = − 2 sec (3y)
3 sen

f) y =

1+y
2−x

j) y =

2y−1
2(y−x)
2x−y
x+2y
2x(1−y)
2y−x2

k) y =
l) y =

2e2x−2y
1+2e2x−2yx
y(x2 +y 2 −1)

h) y =
i) y =

m) y =
n) y =

y cos (xy)
1−x cos (xy)
cos (x)−tg (y)−1
x sec2 (y)

n) y = − tg2 (y)
˜
o) y = cot (x) cot (y)
1
1
p) y = y 2 sen ( y ) tg ( y )2. Aplicar logaritmo natural y luego derivar impl´
ıcitamente para obtener y
a) y = xx

d ) y = 2x

b) y = xln (x)

e) y = 3y+x

c) y = xx

2 −1

f ) y = ax

2

g) y = 2ln (x)
√
h)y = 2x
i ) x = 2y

Respuestas
a) y = xx (1 + ln (x))

d ) y = xy ln (2)

b) y = 2x(ln (x)−1) ln (x)

e) y =

c) y =

2x2

ln (x)+x2 y−y
x

y ln (3)
1−y ln (3)

f ) y = 2xy ln...