Newton no lineal - metodos numericos en matlab

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Universidad Peruana Unión
Ingeniería de Sistemas Métodos numéricos Prof: Braulio Gutiérrez Pari

0.1.

El Método de Newton

Partiendo de un punto xk , como en la figura adjunta, trazamos larecta tangente a la curva y = f (x) recordemos la ecuación punto pendiente y−y0 = m(x−x0 ) en el punto inicial (xk , f (xk ).La cual es f (x)−f (xk ) = f 0 (xk )(x−xk ) despejando f (x) tenemos f (x) = f(xk ) + f 0 (xk )(x − xk ) (Recta tangente a la curva)

El próximo punto,xk+1 , está definido como la solución de f (x) = 0 0 = f (xk ) + f 0 (xk )(xk+1 − xk )
1 que corta al eje x1 en el puntoxk+1 = xk − f 0 (xk ) f (xk ), se observa que debe ser f 0 (xk ) 6= 0 Por lo que el método consiste en construir una sucesión definida por

xk+1 = xk −

f (xk ) f 0 (xk )

k = 0, 1, 2, 3, ...Newton para hallar raices de ecuaciones f (x) = 0 Pero el método de Newton no sólo está orientado hacia ecuaciones involucrando una función real de variable real, sino que su verdadero potencial surgecuando es utilizado en la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, uno de los problemas de cálculo fundamental en ciencia e ingenieria. 1

Las funciones fi : Rn −→ R fi ∈ C 1 (Rn ), para i =1, 2, ..., n son las funciones componentes. La ecuación F (x) = 0 representa un sistema de n ecuaciones con n variables: f1 (x) = 0 f2 (x) = 0 . . . fn (x) = 0 El Jacobiano de F en el punto x,denotado por F 0 (x) o J(x) es definido como la matriz  ∂f1  ∂f ∂f1 (x) ∂x1 (x) · · · ∂xn (x) ∂x1 2  ∂f2 (x) ∂f2 (x) · · · ∂f2 (x)    ∂x2 ∂xn J(x) = F 0 (x) =  ∂x1.  . . ... . . .   . . .
∂fn (x)∂x1 ∂fn (x) ∂x2

Sea x ∈ Rn , F : Rn −→ Rn , es decir hay n variables y n restricciones la cuál acepta primera derivada contínua. F ∈ C 1 (Rn ):       f1 (x1 , x2 , ...xn ) f1 (x) x1  f2 (x)  f2 (x1 , x2 , ...xn )   x2        x =  .  , F (x) =  .  ≡   . .   . .   .  .  . fn (x) fn (x1 , x2 , ...xn ) xn

···

∂fn (x) ∂xn

El método de Newton es de caracter...
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