No ce nada

Next: Problemas de aplicación de Up: SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS Previous: SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS

Problemas de aplicación de la ley de Coulomb: 1-9, 12
Campo eléctrico creado en el punto por una carga diferencial dq situada en :


P.1 La carga situada en y=a crea un campo en (x, y=0) igual a

con ; notar que el vector que va desde la carga hasta el punto donde queremos calcular elcampo eléctrico es igual a y por tanto el vector unitario en esa dirección es . La componente vertical del campo eléctrico anterior es compensada por la componente vertical del campo creado por la carga situada en y=-a (para verlo, basta con sustituir en la ecuación anterior a por -a). El campo eléctrico resultante es entonces
| (1) |

Para se cumple y entonces . Para podemos escribir y el camporesultante es entonces
| (2) |

que es el campo creado por una única carga puntual de 2q situada en el eje horizontal: esto es debido a que a grandes distancias comparadas con la distancia 2a que separa las dos cargas, el efecto es como si estas dos cargas se ``vieran'' juntas.
P.2 Por el mismo motivo que en el problema anterior, la dos cargas Q colocadas en la vertical del punto dondequeremos calcular el campo (donde está situada la carga q) compensan entre sí el campo eléctrico que crean en el centro del círculo. La dos cargas siguientes crean un campo que viene dado por la ecuación (1) para ; y la carga que está sobre el eje horizontal crea un campo también dado por (1) con x=R y a=0. El campo resultante en el centro del círculo es entonces
| (3) |

y la fuerza a la que estásometida la carga q puesta en ese punto es .
P.3 Midamos el ángulo a partir del eje vertical. Un elemento diferencial de arco situado a un ángulo de la vertical crea un campo en el origen de coordenadas
| (4) |

con ya que es la longitud del elemento diferencial de arco. El campo creado por el arco completo en su centro es entonces
| (5) |

ya que la componente horizontal del campo resultantees cero por simetría, algo que se puede comprobar directamente al hacer la integral .
P.4 Un elemento diferencial dx situado a una distancia x del origen de coordenadas crea en este último punto un campo ya que la carga que tiene dicho elemento diferencial es . El campo resultante de sumar toda la distribución continua de carga es
| (6) |

P.5 En el vértice inferior izquierdo el campo creadopor cada una de las cargas (sin contar la carga que está situada en dicho punto) es
| | |   |
  | | | (7) |

y por tanto la fuerza que siente una carga -q situada en dicho punto es .
Para el segundo caso, el campo eléctrico creado por las cuatro cargas es
| | |   |
  |   | | (8) |

Notar que el vector que va, por ejemplo, de la carga inferior derecha al punto medio del tramovertical izquierdo es y por tanto el vector unitario en tal dirección es .
P.6 El campo eléctrico con indica que la placa superior del condensador plano está cargada negativamente y por tanto va a repeler al electrón. Dentro del condensador la fuerza que actúa sobre el electrón es , donde es la carga del electrón, y por tanto estará sometido a una aceleración

con . En la anterior ecuación se hadespreciado la fuerza gravitatoria sobre el electrón ya que su masa es muy pequeña. Puesto que por definición la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, la velocidad se obtiene a partir de la aceleración integrando con respecto al tiempo

donde y con y . Y la posición se obtiene integrando una vez más con respecto al tiempo

en la que despejando el tiempo obtenemos un tiroparabólico de ecuación
| (9) |

Para que el electrón llegue a la placa superior se tiene que cumplir que y=h=2cm sea solución de la ecuación (9): puesto que la solución de la ecuación es , el que exista solución depende de si lo que hay dentro de la integral es mayor que cero, ya que la raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario. En nuestro caso, es necesario que
| (10) |...