Nociones De Calculo Integral

NOCIONES DE CALCULO INTEGRAL

ÍNDICE
Concepto de integración
Función primitiva
Integral indefinida
Integración indefinida
Determinación de la constante de integración
Integración de una función positiva
Integrales inmediatas
La integral definida calculo de areas

CONCEPTO DE INTEGRACION

En matemáticas es sabido que existen operaciones inversas como:
La suma y la resta
Lamultiplicación y la división
La potenciación y la radicación.
La operación inversa de la diferenciación es la anti diferenciación o integración

FUNCIÓN PRIMITIVA

Si F(x) = x2 f’(x) = 2x, la función primitiva de 2x es x2
Si y = Sen x y’ = Cos x la función primitiva de Cos x es Sen x

Si F(x) = 4x3 + x2 + 5 y f’(x) = 12x2 + 2x , entonces 4x3 + x2 + ( ) es la función primitiva de12x2 + 2x. Observa que la constante no se puede determinar de esto se puede obtener la conclusión:

“Una función f(x) (derivada) tiene una infinidad de funciones primitivas que difieren solo en la constante”

F1(x) = 4x3 + x2 + 8
F2(x) = 4x3 + x2 -12 son funciones primitivas de f(x) = 12x2 + 2x
F3(x) = 4x3 + x2 +5
INTEGRAL INDEFINIDA
Al conjunto de todas las funcionesprimitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida de f(x) dx.
Para representar la integral indefinida se utiliza el signo inicial de la palabra suma.
Para representar la integral indefinida de f(x) dx se escribe : f(x) d(x):
Si F(x) es la función primitiva de f(x) se tiene que: f(x) d(x) = F(x) + C, a la función f(x) se le llama integrando y al constante C se le llamaconstante de integración.

2x d(x) = x2 + C
integrando constante de integración.

INTEGRACIÓN INDEFINIDA

A la operación de hallar integrales indefinidas se le llama integración indefinida; operación inversa a la diferenciación o derivación.
De esto se deduce:
1° . La derivada de una integral es el integrando
D 3x2 d(x) = 3x2 la integral de 3x2 d(x) es x3 + C y la derivadade x3 + C = 3x2.
2°. La integral de la diferencial de una función es igual a la función mas una constante.
d(Sen x) = Sen x + C porque Cos x d(x) = Sen x + C
DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Si x2 + C representa una familia de parábolas y a cada valor de C le corresponde una de estas curvas y sabiendo que la curva pasa por (2,1) se tiene que y = x2 + C entonces1 = 22 + C de donde C = -3 . y = x2 -3
Si pasa por R(3,11) 11 = 32 + C 11 – 9 = C C = 2 y = x2 +2

INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN POSITIVA
a. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante de la variable independiente x.

d(y)= 3x2 d(x) diferencial
y = 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar por (x) y dividir estenuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)

y = + C generalizando este procedimiento se tiene:
(m+1)xm d(x) = ya sea m entero, fraccionario, positivo o negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1) lo que es inexacto.
x-1d(x) =

b. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante . de función de x
Si y = un u = f(x)d(y) = n un-1 d(u) y = n un-1d(u) =
c. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de las diferenciales:
[d(u) +d(v) –d(x)] =d(u) + d(v) -d(x)
d. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .

e. El integrando es la diferencial de unapotencia de exponente constante de la variable independiente x.

d(y)= 3x2 d(x) diferencial
y = 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)
y = + C generalizando este procedimiento se tiene:
(m+1)xm d(x) = ya sea m entero, fraccionario, positivo o negativo a excepción en que...