Nociones de Números Reales

1

Propiedades de la igualdad

Acordamos que la relaci´n ”es igual a”, denotada por ”=” cumplir´ las siguo
a
ientes propiedades para cualesquiera objetos matem´ticos a,b,c:
a
I1 Reflexividad: a=a
I2 simetr´ Si a = b ⇒ b = a
ıa:
I3 Transitividad: Si (a = b ∧ b = c) ⇒ a = c
I4 Ley de Leibniz: Si dos objetos a y b comparten todas sus propiedades, entonces a y b son iguales. De la mismaforma, si a y b son iguales entonces a y
b comparten las mismas propiedades.
∀a, b objetos matem´ticos y ∀P proposici´n a = b ⇔ (P (a) ⇔ P (b)). A la ida
a
o
de este ”si y solo si” se le conoce como ”la identidad de los indiscernibles” y al
regreso se le conoce como ”La indiscernibilidad de los id´nticos”. Juntos forman
e
la Ley de Leibniz.

2

N´ meros Reales (R)
u

Al conjunto delos n´meros reales se le conocer´ con el s´
u
a
ımbolo R. Para formalizar( es decir, pasar nuestra intuici´n a un sistema l´gico deductivo) nuestros
o
o
pensamientos acerca de los ”n´meros” reales construiremos una teor´ l´gica acu
ıa o
erca de ellos.
Sobre el conjunto R estar´ definida una operaci´n conocida como suma. Esta
a
o
operaci´n cumple con las siguientes propiedades queaceptaremos como vero
daderas, a estas propiedades se les conocer´ como ”Axiomas de la suma”:
a
Axiomas de la suma
S1 Cerradura (Si dos n´meros son reales, el resultado de la suma de estos dos
u
n´meros es unico, m´s a´n, el resultado es un n´mero real):
u
´
a u
u
∀a, b ∈ R, (a + b) ∈ R
S2 Conmutatividad( El orden de los sumandos no altera la suma):
∀a, b ∈ R, a + b = b + a
S3Asociatividad(algo as´ como ”al sumar 3 n´meros, no importa a cuales sume
ı
u
primero”):
∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
S4 Existencia del neutro aditivo:
∃b ∈ R tal que ∀a ∈ R a + b = a

DEFINICION: Decimos que un objeto matem´tico a que cumple con cierta
a
propiedad P (es decir P (a) es verdadero) es UNICO si para cualquier b objeto matem´tico, si b cumple con la propiedad P (es decir P (b)es verdadero)
a
entonces a = b.
PROPOSICION 1: El n´mero real que cumple con la propiedad S4 es unico.
u
´

1

Sabemos por S4 que ∃b1 ∈ R tal que ∀a ∈ R, a + b1 = a [2]. Supongamos que
∃b2 ∈ R tal que ∀a ∈ R, a + b2 = a [1]
P.D. b1 = b2
Dem.
b1 // por [1]
= b1 + b2 //por S2
= b2 + b1 //por [2]
= b2
∴ por I3 , b1 = b2
∴ El n´mero real que cumple con la propiedad S4 es unico.
u´
Q.E.D.
DEFINICION: Llamaremos al unico n´mero que cumple con la propiedad
´
u
S4 ”cero” y se le denotar´ ”0”.
a
Utilizaremos esta ultima definici´n para enunciar el ultimo axioma de la suma:
´
o
´
S5 Existencia de los inversos aditivos:
∀a ∈ R ∃b ∈ R tal que a + b = 0
PROPOSICION 2: ∀a, b, c ∈ R,a = b ⇒ a + c = b + c
Dem. Se concluye inmediatamente de I4
PROPOSICION 3: ∀a ∈ R eln´mero mencionado en S5 es unico.
u
´
Dem. Sea a ∈ R, entonces por S5 ∃b1 ∈ R tal que a + b1 = 0 [1]. Supongamos
ahora que ∃b2 ∈ R tal que a + b2 = 0 [2] entonces:
b1 //S4
= b1 + 0 //[2] y I4
= b1 + (a + b2 ) //S3
= (b1 + a) + b2 //S2
= (a + b1 ) + b2 //[1]
= 0 + b2 //S2
= b2 + 0 //S4
= b2
∴ por I3 b1 = b2
∴ ∀a ∈ R el n´mero mencionado en S5 es unico.
u
´
Q.E.D.
DEFINICION: ∀a ∈ R,llamaremos al unico n´mero que cumple con la
´
u
propiedad S5 y que depende de a ”El inverso de a” o bien ”menos a” y lo
denotaremos −a
DEFINICION: ∀a, b ∈ R llamaremos al n´mero (a + (−b)) ∈ R ”la resta
u
de a y menos b” y lo denotaremos a − b.

2

TAREA: Demuestre la ley de la cancelaci´n para la suma en los reales, es
o
decir, demuestre que ∀a, b, c ∈ R si a + c = b + c entonces a= b. Concluya que
la proposici´n ∀a, b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b es siempre verdadera.
o

El conjunto de los reales tambien tendr´ definida otra operaci´n a la que se
a
o
le conoce como producto o multiplicaci’on, esta operaci´n cumple tambien con
o
5 propiedades a las que se les conocer´ como ”axiomas del producto”:
a
Axiomas de la multiplicacion
M1 Cerradura (Si dos n´meros...