notacion de conjuntos

Un repaso de notación de conjuntos
Para continuar con un desarrollo ordenado de la teoría de probabilidad, necesitamos algunos
conceptos básicos de teoría de conjuntos. Usaremos letras mayúsculas A, B, C,…, para denotar
conjuntos de puntos. Si los elementos del conjunto A son a1, a2 y a3, escribiremos
A = {a1, a2, a3}.
Denotemos con S el conjunto de todos los elementos en consideración; estoes, S es el
conjunto universal. Para dos conjuntos cualesquiera A y B, diremos que A es un subconjunto
de B, o A está contenido en B (denotado A ⊂ B), si todo punto en A también está en B. El
conjunto nulo, o vacío, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene puntos. Entonces, ∅
es un subconjunto de todo conjunto.
Los conjuntos y las relaciones entre conjuntos se pueden representar enforma conveniente
con el uso de diagramas de Venn. El diagrama de Venn de la Figura 2.2 muestra dos conjuntos,
A y B, del conjunto universal S. El conjunto A es el conjunto de todos los puntos dentro del
triángulo; el conjunto B es el conjunto de todos los puntos dentro del círculo. Observe que en
la Figura 2.2, A ⊂ B.
Considere ahora dos conjuntos arbitrarios de puntos. La unión de A y B,denotada por
A ∪ B, es el conjunto de todos los puntos en A o B o en ambos. Esto es, la unión de A y B
contiene todos los puntos que están en al menos uno de los conjuntos. El diagrama de Venn
de la Figura 2.3 muestra dos conjuntos A y B, donde A es el conjunto de puntos en el círculo
F I G U R A 2.2
Diagrama de Venn
para A ⊂ B
A
B
S
A B
F I G U R A 2.3 S
Diagrama de Venn
para A ∪ B
24Capítulo 2 Probabilidad
izquierdo y B es el conjunto de puntos en el círculo derecho. El conjunto A ∪ B es la región
sombreada formada por todos los puntos dentro de cualquiera de los círculos (o de ambos). La
palabra clave para expresar la unión de dos conjuntos es o (que signifi ca A o B o ambos).
La intersección de A y B, denotada por A ∩ B o por AB, es el conjunto de todos los puntos
en A yB. El diagrama de Venn de la Figura 2.4 muestra dos conjuntos A y B, con A ∩ B formado
por los puntos en la región sombreada donde los dos conjuntos se traslapan. La palabra
clave para expresar intersecciones es y (que signifi ca A y B simultáneamente).
Si A es un subconjunto de S, entonces el complemento de A, denotado por A, es el conjunto
de puntos que están en S pero no en A. La Figura2.5 es un diagrama de Venn que ilustra que
el área sombreada en S pero no en A es A. Observe que A ∪A = S.
Se dice que dos conjuntos, A y B, son disjuntos o mutuamente excluyentes, si A ∩ B = ∅.
Esto es, los conjuntos mutuamente excluyentes no tienen puntos en común. El diagrama de
Venn de la Figura 2.6 ilustra dos conjuntos A y B que son mutuamente excluyentes. Examinando
la Figura 2.5 esfácil ver que, para cualquier conjunto A, A y A son mutuamente excluyentes.
Considere el problema de la Sección 2.2 de lanzar un dado y denote con S el conjunto de
todas las posibles observaciones numéricas para un solo tiro de un dado. Esto es, S = {1, 2,
3, 4, 5, 6}. Sea A = {1, 2}, B = {1, 3} y C = {2, 4, 6}. Entonces A ∪ B = {1, 2, 3}, A ∩ B
= {1} y A = {3, 4, 5, 6}. Del mismo modo, observe queB y C son mutuamente excluyentes,
mientras que A y C no lo son.
F I G U R A 2.5
Diagrama de Venn
para A —
A B
F I G U R A 2.4 S
Diagrama de Venn
para AB
A
A
S
Ejercicios 25
No trataremos de hacer aquí un repaso a fondo de álgebra de conjuntos, pero mencionamos
cuatro igualdades de considerable importancia. Éstas son las leyes distributivas, dadas por
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C),
A∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C),
y las leyes de DeMorgan:
(A ∩B) = A ∪B y (A ∪B) = A ∩B.
En la siguiente sección continuaremos con una exposición elemental de la teoría de probabilidad.
Ejercicios
2.1 Suponga que una familia contiene dos hijos de edades diferentes y estamos interesados en el género de
estos niños. Denotemos con F que una hija es mujer y M que el hijo es hombre y denote con un...