notacion factoria, combinaciones, permutaciones, variaciones




NOTACION FACTORIAL.

La función factorial (símbolo:!) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"
Factorial de un número natural: Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n”hasta 1. El factorial de un número se denota por n!



n
n!
 
 
1
1
1
1
2
2 × 1
= 2 × 1!
= 2
3
3 × 2 × 1
= 3 × 2!
= 6
4
4 × 3 × 2 × 1
= 4 × 3!
= 24
5
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5 × 4!
= 120
6
etc
etc
 

Ejemplo: ¿cuánto es 10! Si ya sabemos que 9!=362.880?
10!=10x9!
10!=10x362.880
10!=3.628.800

Asi que la regla es: n!: n x (n-1)!
Lo que significa “el factorial decualquier número es: el número por el factorial de 1 menos que el número”
Por tanto 10!=10x9! Es igual que 125!=125x124!

Qué pasa con "0!"
El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.
Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.
¿Dónde se usa el factorial?
Los factoriales se usan en muchas áreas de lasmatemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones
Una pequeña lista
n
n!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5.040
8
40.320
9
362.880
10
3.628.800
11
39.916.800
12
479.001.600
13
6.227.020.800
14
87.178.291.200
15
1.307.674.368.000
16
20.922.789.888.000
17
355.687.428.096.000
18
6.402.373.705.728.000
19
121.645.100.408.832.000
202.432.902.008.176.640.000
21
51.090.942.171.709.400.000
22
1.124.000.727.777.610.000.000
23
25.852.016.738.885.000.000.000
24
620.448.401.733.239.000.000.000
25
15.511.210.043.331.000.000.000.000
¡Como ves, crecen muy rápido!
Algunas valores muy grandes
70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).
100! esaproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10157
200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10374


Combinaciones y permutaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué ordenpusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
 
 

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación. 

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.


Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. Nopuedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir(0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
 
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?...