Notas cálculo vectorial y variable compleja

Cálculo vectorial y variable compleja
Fabián Sánchez Valdovinos 13 de marzo de 2012

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Índice general
Prólogo 1. Espacios vectoriales 1.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . 1.3. Vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.Interpretación geométrica de u + v, ku y u − v . . . . 1.4.1. Interpretación de u + v y u − v . . . . . . . . 1.4.2. Interpretación de ku . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Norma en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Distancia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Vectores ortogonales . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1.9. Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Propiedades de u · v . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Normalización de vectores . . . . . . . . . . . 1.10.2. Vectores ortonormales . . . . . . . . . . . . . 1.11. Los vectores de la base canónica de Rn . . . . . . . . 1.12. Producto cruz . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1. Propiedades de u × v . . . . . . . . . . . . . . 1.13. Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. Proyección ortogonal de dos vectores . . . . . . . . . 1.14.1. Componente de un vector u sobre v . . . . . . 1.15. El triple producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16. Ecuaciones de la recta y el plano . . . . . . . . . . . 1.16.1.Ecuación de la recta que pasa por un punto . 1.16.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 1.17. La ecuación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.1. La ecuación de un plano en el espacio . . . . . iii
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1 1 2 3 4 6 6 6 6 7 8 9 10 11 11 12 12 12 13 14 14 15 15 16 17 17 18 19 19

ÍNDICE GENERAL 1.18. Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.19. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. Funciones vectoriales2.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . 2.2. Topología en Rn . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . 2.3.1. Interpretación geométrica . . . . 2.3.2. Álgebra de funciones vectoriales . 2.3.3. Composición de funciones . . . . 2.4. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Derivadas vectoriales . . .. . . . . . . . 2.7. Integrales de funciones vectoriales . . . . 2.8. Teorema fundamental del cálculo . . . . 2.8.1. Segundo teorema fundamental del 2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 25 26 26 27 27 29 30 32 33 34 34 35 35 36 36 36 37 37 38 39 39 40 40 40 41 41 42 42 42 44

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3. Funciones de varias variables 3.1. Funciones reales de un vector . . . . . . . . . . 3.1.1. Álgebra de funciones de varias variables 3.1.2. Composición defunciones . . . . . . . . 3.2. Gráfica de una función f : Rn −→ R . . . . . . 3.3. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Propiedades de los límites . . . . . . . . 3.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Propiedades de las funciones continuas . 3.6. Diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . ....