notas de geometría

Notas de Clase
Geometr´a Vectorial y Anal´tica
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Diego Mej´a (Coordinador del curso)
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Profesor Escuela de Matematicas
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Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´n
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II

´ndice general
I
1. Vectores y rectas en el plano cartesiano

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1.1. La recta num´ rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1

1.2. El plano cartesiano . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

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1.3. Suma de vectores y multiplicacion de un vector por un escalar . .

7

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´
1.4. Magnitud y direccion de un vector. Angulo entre vectores. . . . . . 20
1.5. Producto escalar o producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. La l´nea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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1.7. Rectasparalelas y perpendiculares. Angulo entre rectas. . . . . . 45
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1.8. Proyeccion ortogonal sobre una l´nea recta. Distancia de un punı
to a una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9. Segmento de recta dirigido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.10.
Aplicaciones a problemas geom´ tricos. . . . . . . . . . . . . . . . . 65
e

III

IV

´INDICE GENERAL

Cap´tulo 1
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Vectores y rectas en el plano cartesiano

1.1. La recta num´ rica
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Comencemos el estudio de la geometr´a anal´tica recordando la imagen geoı
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m´ trica (o visual) del conjunto R de los numeros reales. Dibujemos una l´nea
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recta y en ella escojamos un punto cualquiera que llamamos origen denotado
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por la letra O (o mayuscula). Al origen leasignamos el numero real 0. A con´
tinuacion seleccionamos (arbitrariamente) una unidad de medida y dibujamos
sobre la recta el punto U correspondiente a la unidad de medida. Al punto U
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(que es distinto del origen) le asignamos el numero real 1.
´
El punto U nos proporciona una orientacion de la recta en el siguiente
sentido: llamamos lado positivo de la recta al rayo que sale del origen enla
´
´
direccion del punto U , y lado negativo al rayo que sale del origen en direccion
contraria al punto U .
En seguida establecemos una correspondencia biun´voca (es decir, correı
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spondencia uno a uno) entre los numeros reales y los puntos sobre la recta:
si P es un punto situado del lado positivo de la recta que dista p unidades
´
´
del origen entonces le asignamos el numero realp, y si esta situado del lado
´
´
negativo le asignamos el numero real −p. As´, los numeros reales positivos
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1

Vectores y rectas en el plano cartesiano

2

corresponden a los puntos situados del lado positivo de la recta, y los negativos a los puntos situados del otro lado de la recta. Esta imagen visual de los
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numeros reales es lo que llamamos recta numerica o recta real o,inclusive, eje
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coordenado.
´
La identificacion anterior nos permite denotar un punto A sobre la recta
´
teniendo en cuenta el numero real a que le corresponde, el cual llamamos la
coordenada del punto, y escribimos A = (a) (ver Figura 1).

U
O
A

(1)
(0)

(+)

Lado positivo

(a)

(-)
Lado negativo
Figura 1

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´
Quiza la primera inquietud que surge de forma natural es comoexpresar la
distancia entre dos puntos A = (a) y B = (b) de la recta num´ rica con base
e
en sus coordenadas. Supongamos inicialmente el caso particular en el que el
punto B es el origen O = (0). Nuestro modelo visual nos dice que si el punto
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A esta del lado positivo de la recta entonces la distancia entre ambos puntos
´
debe ser a unidades, mientras que si A esta del lado negativo ladistancia entre
ambos puntos es −a unidades. En otras palabras, nuestro modelo visual nos
dice que la distancia entre el punto A = (a) y el origen O = (0) es el valor
absoluto de la coordenada a del punto A.
Supongamos ahora que el punto B no es el origen y que tanto A como B se
´
encuentran del lado positivo de la recta. Si el punto A esta a la ”derecha”del
punto B, es decir, si a > b,...