Notas del Curso de Ec.Dif

Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales
1 Introducci´n
o

2

2 Existencia y unicidad de las soluciones

4

3 Dependencia de las condiciones iniciales

8

4 Ecuaciones diferenciales aut´nomas
o
9
4.1 Orbitas peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o
5 Ecuaciones diferenciales lineales
12
5.1 Soluciones maximales, lema de Gronwall . . . . . . . . . .. . 13
5.2 Principio de superposici´n, matriz fundamental . . . . . . . . 15
o
5.3 Ecuaciones lineales aut´nomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
o
6 Estabilidad de las trayectorias
21
6.1 El p´ndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
e
6.2 El m´todo de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
e

1

1

Introducci´n
o

Si Ω es unaregi´n abierta de R × Rn , y f : Ω → Rn es una funci´n continua,
o
o
decimos entonces que una ecuaci´n de la forma
o
x = f (t, x)
˙
es una ecuaci´n diferencial ordinaria. Aqu´ la inc´gnita x es una funci´n
o
ı
o
o
derivable x = ϕ(t) y x denota su derivada dϕ/dt. M´s precisamente, una
˙
a
soluci´n de la ecuaci´n diferencial es una funci´n derivable ϕ : I → Rn
o
o
o
definida en unintervalo abierto (finito o infinito) I, tal que para todo t ∈ I,
(t, ϕ(t)) ∈ Ω , y
dϕ
ϕ(t) =
˙
(t) = f (t, ϕ(t)) .
dt
A veces, para explicitar el dominio, denotaremos (I, ϕ) a una soluci´n ϕ
o
definida sobre un intervalo I.
Si (t0 , x0 ) ∈ Ω, decimos que las soluciones que verifican t0 ∈ I y φ(t0 ) = x0
son soluciones al problema de Cauchy con la condici´n inicial (t0 , x0 ).
o
Ejemplo.Consideremos la ecuaci´n diferencial de segundo orden
o
x = 2tx2 + sen (t)x .
¨
˙
Una funci´n x = ϕ(t) es soluci´n de esta ecuaci´n si y solo si el par (x, y) =
o
o
o
(ϕ(t), ϕ(t)) es soluci´n del sistema de dos ecuaciones de primer orden
˙
o
x = y
˙
y = 2tx2 + sen (t)y
˙
Si definimos la funci´n f : R × R2 → R2
o
(t, (x, y)) → f (t, (x, y)) = (y, 2tx2 + sen (t)y)
entonces, llamandou al vector (x, y), el sistema es equivalente a la ecuaci´n
o
vectorial
u = f (t, u) .
˙
Observemos que en este caso dar una condici´n inicial u0 = u(t0 ) equivale a
o
o
˙
dar para la ecuaci´n de segundo orden los valores de x(t0 ) y x(t0 ).

2

El problema de Cauchy para una condici´n inicial dada puede tener
o
muchas (o infinitas) soluciones, como lo muestra el siguiente ejemplo.Ejemplo. Consideremos la ecuaci´n x = | x|1/2 . El unico punto de equilibrio
o ˙
´
para esta ecuaci´n es el punto x0 = 0, es decir, la unica soluci´n constante
o
´
o
de esta ecuaci´n es la soluci´n ϕ0 (t) = 0 para todo t ∈ R. Por otra parte, el
o
o
m´todo de separaci´n de variables nos permite hallar la soluciones
e
o
ϕ+ : (a, +∞) → (0, +∞)
a

ϕ+ (t) =
a

1
(t − a)2
4

1ϕ− (t) = − (t − a)2
a
4
Pero entonces para cada a, b ∈ R con a < b podemos construir una soluci´n
o
−
ϕ definida en R como sigue: ϕ(t) = ϕa (t) si t < a, ϕ(t) = 0 si a ≤ t ≤ b y
ϕ(t) = ϕ+ (t) si t > b. Esto muestra que para esta ecuaci´n el problema de
o
b
Cauchy tiene infinitas soluciones para cualquier condici´n inicial.
o
ϕ− : (−∞, a) → (−∞, 0)
a

Definici´n 1 (Unicidad de lassoluciones). Diremos que el problema de
o
Cauchy tiene soluci´n unica de tama˜o > 0 en (t0 , x0 ) si existe
o ´
n
ϕ : I = (t0 − , t0 + ) → Rn
soluci´n por (t0 , x0 ), es decir tal que ϕ (t0 ) = x0 , con la siguiente propiedad:
o
si (I, ϕ) es otra soluci´n por (t0 , x0 ) entonces ϕ |I∩I = ϕ |I∩I .
o
Evidentemente, si (I, ϕ) es una soluci´n, entonces para cualquier intervalo
o
abierto J ⊂ I larestricci´n de ϕ a J es tambi´n soluci´n. Nos interesaremos
o
e
o
o
m´s adelante en las soluciones que no son la restricci´n de otra definida en
a
un intervalo mayor; por ejemplo, las que est´n definidas en R, o las que
a
est´n definidas en un intervalo (a, b) pero tienden a infinito cuando t → b+
a
y cuando t → a− .
Definici´n 2 (Soluciones maximales). Decimos que una soluci´n (I, ϕ)...