Lógica y teoria de conjuntos

1. Demostrar que:
a) Haciendo uso de las tablas de verdad que:
p Λ (p V q) p

p | q | p V q | p Λ (p V q) | p Λ (p V q) p |
v | V | V | V | V |
V | F | V | V | V |
F | V | V | F | V|
F | F | F | F | V |

(4 puntos)

b) utilizando la parte a, y haciendo uso de equivalencias e implicaciones lógicas, mostrar que:
[(p V p) Λ ¬(¬p Λ q)] V [¬[q Λ (r V q)] Λ (p V ¬q)] ≡ p V¬q

[(p V p) Λ ¬(¬p Λ q)] V [¬(q) Λ (p V ¬q)] [p V (p Λ q)] p
[(p V p) Λ ¬(¬p Λ q)] V [¬(q) [p V (p Λ q)] p
[(p V p) Λ (p Λ ¬q)] V [¬(q) ¬(p V q) [¬p Λ (¬q)]
p V (¬q)
(6puntos)
2. considere e siguiente razonamiento y establezca su validez.
P => ¬q, ¬p =>(r=>¬q), (¬s V ¬r) =>¬(¬q), ¬s. por lo tanto r
1. P => ¬q por hipótesis
2. ¬p=>(r=>¬q) por hipótesis
3. (¬s V ¬r) =>¬(¬q) por hipótesis
4. ¬s por hipótesis
5. (¬s V ¬r) por: p=>p V q de 4
6. (¬s V ¬r) =>q por: p≡-(-p) de 37. [((¬s V ¬r) =>q )Λ(¬s V ¬r)]=>q por: [ (p q)Λ p]=>q de 5 y 3
8. [(P => ¬q)Λ q]=> ¬p por: [ (p q)Λ -q]=>-p de 1 y 7
9. [(¬p =>(r=>¬q))Λ¬p] ]=> (r=>¬q) por: [ (p q)Λ p]=>q de 2 y 8
10. [(r=>¬q)Λ ¬q] => r por: [ (p q)Λ p]=>q

(10 puntos)

3. Si A= {1,2}, B= {3,5,7}, C={2,4,5,6} yD= {2,5,6}, con U= {1,2,3,4,5,6,7} como el conjunto universo, calcular:
a) ((AΔB)-B)’ D

A= {1,2}
B= {3, 5,7}
D= {2, 5,6}
-------------------------------------------------
AΔB={1, 2, 3, 5,7}

((AΔB)-B)’ D
= [{1, 2, 3, 5,7} - {3, 5,7}]’ {2, 5,6}
= [{1,2}]’ {2, 5,6}
= [{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1,2}] {2, 5,6}
= {3, 4, 5, 6, 7}{2, 5, 6}
= {5,6}

(5 puntos)
Entonces:
((AΔB)-B)’ D = {5,6}

b)
B –D = {3,7}
B – C= {3,7}

P(B –C ) ={{3,7}, {}, {3}, {7}}...