notas monica clab analisis matematico

Páginas: 192 (47904 palabras) Publicado: 7 de mayo de 2014
Introducción al Análisis Real
Mónica Clapp
Instituto de Matemáticas
Universidad Nacional Autónoma de México
Agosto 2010

2

Índice general
I

Continuidad, compacidad y completitud

1

1. Motivación

3

2. Espacios métricos
2.1. De…nición y ejemplos . . . . . . .
2.2. Espacios normados . . . . . . . .
2.3. Espacios de funciones . . . . . . .
2.4. El espacio de funcionesacotadas .
2.5. Subespacios métricos e isometrías
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

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3. Continuidad
3.1. De…niciones y ejemplos . . . . . . . . . .
3.2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
3.3. Convergencia de sucesiones . . . . . . . .
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Compacidad
4.1. Conjuntos compactos . . . . . . .
4.2. El teorema de Heine-Borel . . . .
4.3. Existencia de máximos y mínimos
4.4. Semicontinuidad . . . . . . . . . .
4.5.Continuidad uniforme . . . . . . .
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

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5. Completitud
5.1. Espacios métricos completos . .
5.2. Convergencia uniforme . . . . .
5.3. Espacios completos de funciones
5.4. Series en espacios de Banach . .

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4

ÍNDICE GENERAL

5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Proyecto de trabajo . . . . . . . . .
5.6.1. Objetivo . . . . . . . . . . .
5.6.2. Esquema de lademostración

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6. El teorema de punto …jo de Banach y aplicaciones
6.1. El teorema de punto …jo de Banach . . . . . . . . . . . . .
6.2. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Ecuacionesintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. La ecuación integral de Fredholm del segundo tipo .
6.3.2. La ecuación integral de Volterra del segundo tipo .
6.4. El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Compacidad en espacios de funciones
7.1. Conjuntos totalmente acotados. . . .7.2. El teorema de Arzelà-Ascoli. . . . . .
7.3. El problema de Cauchy . . . . . . . .
7.4. Existencia de trayectorias de longitud
7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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mínima
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