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Prueba de Rachas

Concepto de Racha
En una determinada secuencia de sucesos observables la interacción entre elementos iguales lo denominaremos racha. El número de elementos de una racha se conoce como longitud.
Por ejemplo:
Tengamos la secuencia: aaa bb a bb aa aquí existen 5 rachas, de dos sucesos a y b de longitudes (3);(2);(1);(2);(2)
El número total de rachas en una muestraproporciona un indicio de si hay o no aleatoriedad en la muestra. Un número reducido de rachas (el caso extremo es 2) es indicio de que las observaciones no se han extraído de forma aleatoria, los elementos de la primera racha proceden de una población con una determinada característica (valores mayores o menores al punto de corte) mientras que los de la segunda proceden de otra población. De forma idénticaun número excesivo de rachas puede ser también indicio de no aleatoriedad de la muestra.










Objetivo de la Prueba
En muchas ocasiones se está interesado en la aleatoriedad de una secuencia de sucesos donde en ocasiones la aparición, en una muestra, de un elemento condiciona la aparición de otro. Si ocurre esto la muestra no es aleatoria, incumpliendo así una de las hipótesisbásicas de los procedimientos de inferencia.
La prueba de rachas contrasta la aleatoriedad de una secuencia de eventos a partir del número de rachas (R) de la misma.
Esta prueba trabaja tanto con variables Dicotómicas (aquellas que solo pueden tomar dos valores) y variables cuantitativas.
Prueba para Variables dicotómicas
Tomamos el ejemplo anterior, la secuencia: aaa bb a bb aa, para aclararalgunos puntos a considerar en este tipo de pruebas.
Llamaremos R1j al número de rachas del elemento 1(a) de longitud j.
Llamaremos N1 el número de veces que aparece el elemento 1 (a) en la muestra.
Llamamos R2j al número de rachas del elemento 2 (b) de longitud j.
Llamaremos N2 al número de veces que aparece el elemento 2 (b) en la muestra.
El total de la muestra será; n = N1 + N2
El total derachas será RT = R1j + R2j
Según lo visto en nuestro ejemplo:
Elemento 1 (a)
R11 = 1; R13 = 1; R12 = 1; R1 = 3
N1 = (1 x 1) + (3 x 1) + (2 x 1) = 6 N1 = 6

Elemento 2 (b)
R22 = 2; R2 = 2
N2 = (2 x 2) = 4 N2 = 4

Para valores de N ≤ 20 utilizaremos una tabla (Anexo 1) donde para cada nivel de significación vienen dados los valores críticos Ri = rα/2 ó Rs = r1-α/2. Si nuestrovalor no pertenece a esa región crítica se aceptará la H0 = Muestra aleatoria.
Para valores de N > 20 Rechazaremos la H0 si Zcalc ≥ Z1-α/2 donde Z sigue una N(0,1) siendo:

Donde:



Ejemplo 1 (variables dicotómicas):
Se supone que obtenemos una muestra de 50 elementos como observación de un evento que tiene dos posibilidades a y b. Siendo la sucesión la siguiente:
aaa bb a b aaaaa bbbbbbaa bbb aaaa bbbbb a b a b a bb aaa bbbb aaa b
Elemento 1 (a)
R11 = 4; R12 = 1; R13 = 3; R14 = 1; R15 = 1 R1 = 10
N1 = (1 x 4) + (2 x 1) + (3 x 3) + (4 x 1) + (5 x 1)= 24 N1 = 24

Elemento 2 (b)
R21 = 4; R22 = 2; R23 = 1; R24 = 1; R25 = 1; R26 = 1 R2 = 10
N2 = (1 x 4) + (2 x 2) + (3 x 1) + (4 x 1) + (5 x 1) + (6 x 1) = 26

Como N > 20 rechazaremos la H0 si Zcalc ≥ Z1-α/2 donde Zsigue una N(0,1). Obtenemos E(R):


En seguida calculamos :


Por último calculamos Zcalc:


Como Zcalc = 1.56 y Z(0.95)=1.64 se acepta la H0 las muestras son aleatorias

Prueba para Variables Cuantitativas
Cuando los datos son cuantitativos debemos convertir la serie de muestras en una serie de daros dicotómicos utilizando para esto la mediana o media como parámetro central, losvalores por encima de esta serán un elemento y los valores por debajo serán el segundo elemento necesario para la prueba. En general deberemos seguir el siguiente procedimiento:
1. Se calcula la mediana o media de la muestra.
2. Se obtienen la diferencia entre cada valor y la media o mediana, asignándole el signo correspondiente.
3. Se eliminan los valores 0.
4. Se procede igual que en la prueba...