Notasam

Introducción a las funciones de varias variables
Alfredo Bautista Santa-Cruz Curso 209/2010
Capítulo 1
Análisis de funciones de varias variables.
Introducción
Son conocidos los problemas que dependen de una única variable, por ejemplo:
95694511493500Area A de un cuadrádo de lado l:

A (l) = l2
95694511493500Función de ingresos de una empresa que únicamente produce x unidades de unbien al precio
p fijo:
I (x) = p · x
Pero, a veces, es necesario utilizar más variables para describir un problema. Así, necesitamos definir funciones que dependan de más de una variable:
95694511303000El área de un rectángulo cuya base es b y cuya altura es h:
A (b, h) = b · h
95694511303000Los ingresos de una empresa que produce x1 e x2 unidades de dos bienes distintos, cuyos respectivosprecios son p1 y p2:
I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2
95694511493500La función de producción de Cobb-Douglas, que describe las unidades producidas en función de x unidades de trabajo e y unidades de capital, donde C y a son dos constantes fijas tales que 0 < a < 1:
f (x, y) = C · xa · y1−a
En resumen, en un problema en el que interviene más de una característica (variable) independi- ente,es necesario definir funciones que dependen de más de una variable.
El conjunto Rn
Llamemos R al conjunto de números reales. El conjunto de pares de valores (x1, x2) con x1, x2
reales lo llamaremos R2, es decir, es el producto cartesiano
R2 = R × R = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 ∈ R}
En general, el conjunto de n-uplas (x1, . . . , xn) con x1, . . . , x2 reales lo llamaremos Rn, es decir, elproducto cartesiano
Rn = R × . . . × R = {(x1, . . . , xn) : x1 ∈ R, . . . , xn ∈ R}
Funciones de varias variables
Definición 1 (Función de varias variables) Sea D un subconjunto de Rn. Si a cada (x1, . . . , xn) ∈ D
le corresponde un único número real
f (x1, . . . , xn)
se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplo 2 Las funciones definidas anteriormente
A (b, h) =b · h
I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2 f (x, y) = C · xa · y1−a
son funciones de dos variables.
Definición 3 (Dominio y recorrido) El conjunto D de la definición anterior se llama dominio de
f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.
173101022542500Ejemplo 4f (x, y) = x2 + y2
La función f está definida para todo (x, y) ∈ R2 y portanto el dominio de f es D = R2. Como f puede alcanzar cualquier valor no negativo, el recorrido es R = {z ∈ R : z ≥ 0}.
95694515303500f (x, y) = log xy
Para que la función f esté definida es necesario que
xy > 0
entonces
. x > 0
y > 0o bien
. x < 0
y < 0
así el dominio de f será el siguiente conjunto

y el recorrido es R = R.
Observación 5 Si f y g son funciones de nvariables, es decir,
f : Rn → Ryg : Rn → R
entonces las siguiente operaciones nos dan lugar a nuevas funciones de n variables:
95694511493500Suma y diferencia:

(f ± g) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) ± g (x1, . . . , xn)
95694511493500Producto:
(fg) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) g (x1, . . . , xn)
95694511493500Cociente:
Si g (x1, . . . , xn) ƒ= 0 entonces

. f .

g

(x1,. . . , xn) =

f (x1, . . . , xn)

g (x1, . . . , xn)
Representación gráfica de una función de varias variables.
Definición 6 (Gráfica o grafo) La gráfica de una función de n variables x1, . . . , xn es el conjunto de puntos (x1, . . . , xn, z) ∈ Rn+1 que satisfacen
z = f (x1, . . . , xn)
con (x1, . . . , xn) en el dominio de f.
La interpretación geométrica de la gráfica es la siguiente:Para n = 1. La gráfica de una función f : R → R la generan los puntos (x, y) tales que y = f (x)
y se puede representar como una curva en R2:

Para n = 2. La gráfica de una función f : R2 → R la generan los puntos (x, y, z) tales que
z = f (x, y) y se puede representar como una superficie en R3:

Para n ≥ 3. La gráfica de una función f : Rn → R la generan los puntos (x1, . . . ,...