Nuemros reales

Los N´ meros Reales u
Karen Garc´ Mesa ıa tartaglia@lab.matcom.uh.cu Universidad de la Habana Yanelys Zald´ ıvar Universidad de la Habana ´ Celia Galvez maria5@lab.matcom.uh.cu Universidad de la Habana

´ Avalado por: Dr. Rita Roldan rroldan@matcom.uh.cu Universidad de la Habana
Resumen Se estudian varios m´todos para construir los n´meros reales manteniendo los axe u iomas que definen a losracionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los siguientes: Propiedad de continuidad Principio de intervalos cerrados encajados Axioma del supremo Cortaduras de Dedekind Adem´s se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones. a

Palabras y frases Claves: n´meros reales, cortaduras, conjunto u

Clasificaci´n: An´lisis Matem´tico o a a

´ INTRODUCCION Nuestrointer´s por realizar este trabajo se debe a que pens´bamos que conoc´ e a ıamos los n´meros reales, pero definitivamente est´bamos equivocados, pues no nos imagu a in´bamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos a abrieron numerosas puertas al conocimiento matem´tico, entre ellas est´ el conocer a a que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manerade definirlo. Se atribuye a los pitag´ricos la expresi´n ”Todo es n´mero”. La Escuela Pitag´rica o o u o fue la primera escuela matem´tica griega. Antes de ellos se hab´ acumulado una a ıa buena cantidad de conocimiento matem´tico debido a culturas tales como la egipcia a y la babil´nica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de o los viajes de Tales de Mileto y, luego,del propio Pit´goras. Este contacto significa a para la matem´tica de la ´poca un enorme salto conceptual pues, de una matem´tica a e a dedicada en lo esencial a la soluci´n de problemas de tipo pr´ctico, se pasa a una o a matem´tica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es dea cir una matem´tica te´rica. A partir de Tales y Pit´goras, la matem´tica griega a o a aevoluciona por caminos de alta complejidad que, parad´jicamente, se estructuran o alrededor de una disciplina com´n: la geometr´ Es as´ como en el siglo IIIa.C., u ıa. ı m´s de doscientos a˜ os despu´s de Tales y Pit´goras, aparece un texto de importana n e a cia capital para la historia de la matem´tica: los ”Elementos”de Euclides, esfuerzo a totalitario de recolecci´n del saber matem´tico acumuladohasta la ´poca; dotado o a e de un enorme sentido pedag´gico que llev´ desde su creaci´n a separarlo en trece o o o vol´menes. u ¿C´mo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina o conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag´rica original ”Too do es n´mero”, idea que para los propios pitag´ricos ten´ un sentido tan profundo u o ıa que adquir´ caracter´ ıaısticas sagradas. En este sentido, Pit´goras viene a ser el prea decesor original de Leopold Kronecker, el matem´tico que afirm´ que ”Dios cre´ los a o o n´meros enteros, lo dem´s lo hizo el Hombre”, porque cuando un pitag´rico hablaba u a o de n´mero lo que ten´ en mente espec´ u ıa ıficamente era un n´mero racional. u Esto lo podemos ver claramente en ”Los Elementos ”de Euclides Def.V II,1 yDef.V II,2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada una y la segunda afirma que un n´mero es u una pluralidad compuesta de unidades. Definiciones lo suficientemente restrictivas para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n´mero: una unidad no u es un n´mero, es el ente que constituye a los n´meros. u u La visi´n pitag´rica deln´mero como la sustancia constitutiva del Universo, cono o u dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia de una medida com´n para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi´n se asigna u e a los pitag´ricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre o...