Numero racional

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).
Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo,1 es decir, una fracción común  con numerador  y denominador  distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos enbase 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
Ensentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma comorepresentante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .
Índice
1 Construcción formal
2 Aritmética delos números racionales
2.1 Definición de suma y multiplicación
2.2 Relaciones de equivalencia y orden
2.3 Existencia de neutros e inversos
2.4 Equivalencias notables
2.5 Propiedades
3 Escritura decimal
3.1 Representación racional de los números decimales
3.2 Desarrollo decimal de los números racionales
3.3 Número racional en otras bases
4 Propiedades topológicas de los números racionales5 Propiedades algebraicas
5.1 Número p-ádico
6 Véase también
7 Referencias
8 Bibliografía
9 Enlaces externos
Construcción formal[editar]
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamenteidentificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado deenteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Demostración

De esta manera , es decir que el conjunto de los números racionales es el cociente  por la relación de equivalencia.
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

Aritmética de los números racionales[editar]

Representación gráfica de lasfracciones cuyo divisor es 4.
Definición de suma y multiplicación[editar]
Se define la suma 
Se define la multiplicación 
Relaciones de equivalencia y orden[editar]
Se define la equivalencia  cuando 
Los racionales positivos son todos los  tales que 
Los racionales negativos son todos los  tales que 
El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces  cuando 
Existencia de neutros e inversos[editar]
Paracualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .
Para cualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .
Cada número racional:  tiene un inverso aditivo  tal que 
Cada número racional:  con excepción de  tiene un inverso multiplicativo  tal que 
Equivalencias...