Numero d oro

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EL NUMERO DE ORO, Φ = 1,618033989........
El número de oro, también conocido como razón áurea, suele representarse con la letra griega Φ, en honor a Fidias, el arquitecto que diseñó el Partenón, (es un templo dedicado a la diosa Atenea que protege la ciudad de Atenas), es el monumento más importante de la civilización griega antigua y se le considera como una de las más bellas obrasarquitectónicas de la humanidad. El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones ó proporciones áureas, como veremos más adelante en el desarrollo de este tema. Pero, ¿Por qué es tan importante este número?, ¿Qué mide?. Este número aparece repetidamente en el mundo que nosrodea, primeramente en la naturaleza, en las proporciones de los cuerpos de los seres vivos, en la forma de distribuirse hojas y flores en el tallo de las plantas, y luego en todas las obras de la mano del hombre. Se ha usado como elemento de diseño en construcciones arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, siempre con el propósito de crear belleza, armonía y perfección. 1. EL NÚMERODE ORO EN MATEMATICAS Construir un rectángulo de oro y obtener el valor del número Φ es equivalente. Un rectángulo áureo es aquel que se puede dividir en un cuadrado y otro rectángulo menor pero semejante al inicial. A continuación se demuestra cuál debe ser la proporción entre los lados de un rectángulo para que este sea áureo. Partimos inicialmente de un cuadrado de lado 2 unidades (el cuadradopuede tener cualquier medida y el resultado numérico de Φ sería el mismo). En el cuadrado ABCD se dibuja el punto medio M del lado AD, con centro en este punto M y con un radio igual a la distancia MC se traza un arco de circunferencia en sentido horario hasta que corte a la prolongación de la línea horizontal AD, se obtiene así el punto E, se completa la construcción hasta obtener el rectánguloABEF. Este rectángulo tiene entre sus lados la relación á urea, es decir si se divide el lado mayor entre el lado menor se obtiene el valor Φ.
lado grande = 1 + lado grande lado pequeño 5 , lado pequeño = 2, 2 5 = 1,61803398 .... = ϕ= 1 +

También se puede dividir una longitud cualquiera en proporción áurea. Tomamos un segmento cualquiera de longitud l , queremos calcular cuánto debe medir cadauna de las partes del segmento para que dichas longitudes estén en proporción áurea. Supongamos que x es la parte mayor y l–x la parte pequeña. Estar en proporción áurea quiere decir que la relación entre la longitud total y la parte mayor es lo mismo que la relación entre la parte mayor y la menor. l = x realizamos los cálculos:
l x = x l − x ⇒ l ⋅ (l − x ) = x 2 ⇒ x 2 + lx − l 2 x l−x 2 l = l−1+ 5 2 −1− 5 2 = 0,61803398 ⋅ l = (negativo) − 1,61803398 ⋅ l

= 0 ⇒ x =

− l ± 2

5l

El resultado nos dice que para que un segmento quede dividido en proporción áurea se debe cortar por el 61,803398% de su longitud.

2

Veámos ahora cuál es la relación entre la longitud total y la parte mayor:
l = x l −1+ 5 l⋅ 2 = 2 −1+ 5 = 2 ⋅ ( 5 + 1) ( 5 − 1) ⋅ ( 5 + 1 ) = 1+ 2 5 = 1,6183398.....justo el número de Oro.

Si consideremos un pentágono regular, en el cual se han dibujado las diagonales, y contamos la cantidad de triángulos diferentes que aparecen en toda la figura, observaremos que solamente hay 2 tipos de triángulos isósceles, y cualquier otro sería semejante a uno de estos dos, estos triángulos se llaman aúreos ó también triángulos de Robinson. Vamos a utilizarlospara demostrar que la diagonal y el lado de un pentágono regular están en relación áurea :

Los triángulos T1 y T2 son semejantes (dejamos la demostración como ejercicio ). Escribimos entonces la relación de semejanza para sus lados :
(T1 ) d l l2 (T2 ) → x = = x d l l2 d y observamos en el triángulo T1 que d = l + x , entonces tenemos la ecuación l ± l 2 + 4l 2 2 = l±l 5 2 = 1− 5 2 1+ 5 l⋅ 2...
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