Numero

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS

CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS
1.

CONJUNTOS.

1.1

Conceptos básicos

Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre y ambas nos
conducen a los números. Haciendo marcas, medían el tiempo y el conteo de bienes que poseían, así
surgió la aritmética y fue hacía fines del siglo XIX cuando G eorgeCantor creó la teoría de los
conjuntos, pero fue cerca de los años veinte del siglo XX que G ottob frege hizo el desarrollo del
enfoque moderno de la matemática y después Bertrand Russell completó y desarrolló las
aplicaciones de esta teoría.
La idea de conjunto, es en sí intuitiva y muy antigua. Desde sus orígenes la sociedad humana
ha tenido la idea de agrupaciones o conjuntos: la familia, losclanes, las tribus fueron los primeros
conjuntos.
Todos estamos acostumbrados a tratar con conjuntos; escribimos usando conjuntos de
letras, efectuamos operaciones de conteo y usando un conjunto de números, etc.
Podemos considerar un conjunto como la colección de objetos o c osas que
tienen una o mas propiedades e n común. Los objetos que forman un conjunto
se les llama elementos delconjunto.
Generalmente los conjuntos se representan por letras mayúsculas y las minúsculas para
sus elementos.
Un factor importante para la comprensión de cualquier texto es la correcta interpretación de los
símbolos; por tal razón se ofrece la lista de estos enseguida y su significado.

1.2

Simbología.

Símbolo

Significado

A, B, C,
a, b , c
∈
∉
{ …}
=

…
UΩ
∅ ={}
≠
⊂
⊄
⊆⊄
>
<

Indican conjuntos.
Indican elementos.
Pertenece a....; e s elemento de ....; está en....
No pertenece a....; n o es elemento de ....; no está en ...
Conjunto.
Es igual a; igual que .
Tal que , dado que.
Así sucesivamente.
Conjunto universal .
Conjunto vacío.
D iferente de ; es distinto a; no es igual a.
Subconjunto propio de ; es subconjunto de..
No es subconjunto propiode..
Subconjunto impropio, subconjunto de.
No es subconjunto de...
Mayor que .
Es menor que.

A UTOR: PROFESOR J ESÚS INFANTE MURILLO
E DICIÓN: PROFESOR P ABLO FUENTES RAMOS

1 -1

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

Ý
Û
≥
≤
U
I
´
→
↔
≡
∴
}
∃
ò
∀

CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS

No es mayor que .
No es menor que.
Es mayor que o igual que .
Es menor o igual que.
Unióncon.
Intersección con.
Complemento de.
Implifica que.....; e ntonces...
Si y solo si....; doble implicación, e quivalente a .
Identico.
Por lo tanto.
Condicional.
Existe .
No existe.
Para todo.
Cardinalidad del conjunto A.

η (A)

Un conjunto se puede expresar de dos formas:
a)

Por extensión o forma implícita.

b)

Por comprensión o forma explícita.
Ejemplos:
a)

Porextensión:

A : {a, e, i, o, u}

Los elementos que contiene el conjunto A están explícitamente escritos, es decir,
que todos los elementos aparecen entre el signo de agrupación { }.
b)

Por comprensión:

B = {x * x + 3 = 5 }

Como se puede ver, se da una condición para que podamos encontrar los elementos
que pertenecen al conjunto.
Ejercicios:
1)

Por extensión. A = {MERCURIO, VENUS,TIERRA, MARTE}

2)

Por extensión. b = {z - c = 3000, z = 10}; c = - 2990

3)

Dado el conjunto de números pares positivos menores que 11 expresados en:
a)

Extensión:

b)

Comprensión: b = {x* x es un número par < 11}

A UTOR: PROFESOR J ESÚS INFANTE MURILLO
E DICIÓN: PROFESOR P ABLO FUENTES RAMOS

A = {2, 4, 6, 8, 10}

1 -2

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

1.3CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Concepto de pertenencia.

El concepto principal de la teoría de conjuntos es la pertenencia, supongamos que A es un
conjunto y que x es elemento de A, podemos expresarlo como:
x∈A
Si escribimos, y ∉ A, significa que y no pertenece o no es elemento de A.
Ejemplos:
1)

a ∈ V; donde V es el conjunto de las vocales.

2)

4 ∈ N; donde N es el conjunto de los...