Numeros complejos

Departamento de Teor´ de la Se˜al y Comunicaciones ıa n Escuela Polit´cnica Superior e Universidad de Alcal´ a

´ CIRCUITOS ELECTRICOS

Resumen de n´meros complejos. u

Octubre - 2006

1.1.1.

N´ meros Complejos. u
Definici´n: el n´ mero imaginario j. o u
Sea el n´mero j que cumple la relaci´n siguiente u o j 2 = −1 (1)

El n´mero j es llamado unidad imaginaria, y un n´mero x ser´imaginario u u a puro si verifica la siguiente relaci´n o x = bj donde b ∈ R. Los n´meros complejos C son una extensi´n de los n´meros reales R, u o u y se definen como la suma de un n´mero real y unn´mero imaginario puro u u de la forma z = a + bj (3) donde {a, b} ∈ R, y z ∈ C. (2)

1.1.1.

M´dulo y Fase. o

Sea un n´mero z ∈ C tal que z = a + bj. Se define el m´dulo de z o √ u 2 + b2 . Lafase de z se define como ϕ = arctan( b ). como |z| = a a

1.2.

Formas de representaci´n. o

Sea el n´mero complejo z = a + bj. Entonces z puede ser representado u de las siguientes formas:Forma binomial: z = a + bj. 2

Figura 1: Representaci´n geom´trica de un n´mero complejo. o e u Forma polar: z = Aejϕ . Forma trigonom´trica: z = A(cos(ϕ) + jsen(ϕ)). e √

Donde {a, b, A, ϕ} ∈ R , j= respectivamente.

−1, y A y ϕ son el m´dulo y la fase, o

1.3.

Representaci´n geom´trica. o e

Un n´mero complejo z = a + bj puede ser representado en el plano u de los n´meros complejoscomo un punto de coordenadas (a, b). El eje de u abscisas contiene la parte real (Re{z} = a), y el eje de ordenadas la parte imaginaria (Im{z} = b), como se muestra en la Figura 1. Luego los n´meroscomplejos pueden ser entendidos como vectores de u coordenadas (Re{z}, Im{z}), y por lo tanto pueden ser representados en el plano. En la figura 1 tambi´n vemos como el m´dulo de ese vector coincide e ocon el m´dulo del n´mero complejo, y que la fase es el ´ngulo que forma el o u a vector con el eje de abscisas.

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1.4.

F´rmula de Euler. o

La f´rmula de Euler es una f´rmula matem´tica...