Numeros complejos

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NÚMEROS COMPLEJOS.
Al determinar las raíces de una ecuación cuadrática del tipo:
x2+bx+c=0 se emplea la fórmula cuadrática .x=-b±b2-4ac2a
si b2-4ac<0 entonces se introduce el númeroimaginario i= -1 de modo que i2= - 1el número i se conoce como número imaginario.
Un número complejo es un número de la forma:
z=α+βi
donde α y β son números reales α recibe el nombre de parte real de z yse denota por Re z, β se llama parte imaginaria de z y se denota Im z, a la representación en un sistema de ejes coordenados se le conoce como representación cartesiana del número complejo z
1-i-1-i
-1+i
1+i
y=Im z
x=Re z

Si β=0 entonces z=α es un número real. Si α=0 el número es imaginario puro.
Los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas ordinarias delalgebra.
Ejemplo:
Sea z=2+3i y w=5-4i
3w-5z=[3(5-4i)]-[5(2+3i)]=(15-12i)-(10+15i)=5-27i
zw=(2+3i)(5-4i)=10-8i+15i-12i2=22+7i
z+w=(2+5)+(3i-4i)=(2+5)+(3-4)i=7-i

Conjugado: si z=α+βi, entonces elconjugado de z, denotado porz se define como:
z
z
0
0
z=α-βi

Magnitud: si z=α+βi, la magnitud de z, denotada por |z| = α2+β2 y el argumento de z denotado por arg z, se define como el ángulo θentre la recta 0z y el eje x positivo.
Por definición : -π < arg z ≤ π
r = |z| es la distancia desde z hasta el origen. Si α>0 entonces:

z=α+iβ=reiθ

β

β=r sen θ
r

θ

α
0

α=rcos θ


θ =arg z = tan-1 βα
Recuérdese que tan -1 x siempre toma valores en el intervalo (-π2, π2 ). Si α=0 y β>0, entonces
θ= arg z = π2. Si α=0 y β<0, entonces θ= arg z = - π2. Siα<0 y β>0 entonces θ está en el segundo cuadrante y está dada por:
θ = arg z = π – tan -1 βα
por último si α>0 y β<0, entonces θ está en el tercer cuadrante y
θ = arg z = -π + tan-1 βα
Argumento de z
Sea z=α+iβ; entonces
arg z = tan -1 βα si α>0
arg z = π2 si α=0 y β>0
arg z =- π2 si α=0 y β<0
arg z = π- tan-1 βα si α<0 y β>0
arg z = -π+...
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