Numeros complejos

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
por Jorge José Osés Recio Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004 Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 se analizó el signo del discriminante b 2 - 4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eranimaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto delos números complejos y lo denotamos con la letra £ al conjunto de los pares de números reales ( a, b ) en el cual definimos las siguientes operaciones: Suma. ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) Multiplicación. ( a, b ) ( c, d ) = ( ac - bd , ad + bc ) En el número complejo ( a, b ) llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en¡ 2 . Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son: Igualdad.

( a , b ) = ( c, d ) Û a = c

Ù b=d

Multiplicación por un escalar. a (a, b) = (a a, a b) donde a Î ¡ . Ejemplo. Dados ( 2,1) y ( 0, -3) , hallar: a) ( 2,1) + ( 0, -3) = ( 2 + 0,1 + (-3) ) = ( 2, - 2 ) b) ( 2, 1)( 0, - 3 ) = ( 2(0) - 1(-3), 2(-3) + 1(0) ) = ( 3, - 6 ) c) ( 2,1)(0, -3) - 2 ( -1,1) = ( 3, - 6 ) + ( 2, - 2 ) = ( 5, - 8)

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Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano ¡ 2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje de las y .

Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) . Podemos considerar que losnúmeros reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano ¡ 2 el número complejo ( a, 0 ) coincide con el número real a . De este modo tenemos a = (a, 0) cuando a Î ¡ . Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros. Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar a Î ¡ : a ( a , b ) = (a a , a b ) Para eso escribimos el número real a enla forma (a , 0 ) y aplicamos la definición de multiplicación: a ( a, b ) = (a , 0 )( a, b ) = (a a - 0b , a b + 0a ) = (a a, a b ) . Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que i 2 = -1 . i 2 = (0,1) 2 = (0,1) (0,1) = ( 0(0) - 1(1), 0(1) + 1(0) ) = (-1, 0) = -1 Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x 2 + 1 =0 . x 2 + 1 = 0 Þ x 2 = -1 Þ x 2 = i 2 Þ x = ± i

Forma binómica de un número complejo
Sea z = (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma: z = (a , b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0,1) Pero como (1, 0) = 1 y (0,1) = i , entonces (a, b) = a + bi . En este caso a + bi se llama forma binómica o binomia del número complejo.

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Suma y multiplicación de númeroscomplejos en la forma binómica
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i , puesto que a, b, c, d son todos números reales. ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i porque i 2 = -1 .
Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicacióncon números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo. Ejemplo. Si z1 = (3, 2) y z2 = (4, -1) , halle z1 + z2 y z1 z2 . z1 + z2 = (3, 2) + (4, -1) = ( 3 + 2i ) + ( 4 - i ) = 7 + i z1 z2 = (3, 2) (4, -1) = (3 + 2i )(4 - i ) = 12 - 3i + 8i -...