Numeros complejos

Anexo B

Propiedades B´sicas de los a N´meros Complejos u

Los n´meros complejos se pueden expresar de varias formas. La primera es la forma u √ binomial: z = a + bi, siendo a y b n´meros realese i = −1, la unidad imaginaria. Se u dice entonces que a es la parte real de z y b su parte imaginaria y se escribe a = Re z y b = Im z. Los n´meros reales son un subconjunto de los n´meroscomplejos:aquellos cuya u u parte imaginaria es 0. Si z = a + bi entonces z = a − bi es otro n´mero complejo llamado conjugado de z. Se u tiene entonces que √ √

1. zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 . El n´meroreal positivo u nombre de m´dulo de z y se representa por |z|. o

zz =

a2 + b2 recibe el

2. De lo anterior deducimos que zz = |z|2 y, para z = 0, z = siempre que z = 0. 215

|z|2 1 z . Porlo tanto, = 2 z z |z|

216

Propiedades B´sicas de los N´meros Complejos a u Podemos identificar cada n´mero complejo u z = a + bi con el par de n´meros reales u (a, b) y representarlo como unvector en el plano con origen en el punto (0, 0) y final en el punto √ b). De esta forma el m´dulo (a, o 2 + b2 , es el m´dulo del veco de z, |z| = a tor. Al ´ngulo, θ, que forma con la direcci´n a opositiva del eje de abscisas se le llama argumento principal de z. Tenemos entonces que a = |z| cos θ y b = |z| sen θ y otra forma de escribir el n´mero complejo z = a + bi es u z = |z|(cos θ + i sen θ).Y, con esta notaci´n, o su conjugado ser´ z = |z|(cos θ − i sen θ) ıa

Im

z |z| θ a Re b

La f´rmula de Euler establece que o cos θ + i sen θ = eiθ . Utilizando esta f´rmula podemos escribir zde una nueva forma: z = |z|eiθ y su conjugado o −iθ z = |z|e . Como el m´dulo de z, |z|, es un n´mero real positivo, siempre existe un n´mero o u u r real r tal que e = |z| (en otras palabras, r = ln|z|). Entonces podemos escribir z = er eiθ = er+iθ = er (cos θ + i sen θ). En realidad, los n´meros complejos surgen para cubrir una “deficiencia” de los n´meros u u reales: hay polinomios cuyos...