Numeros complejos

Números Complejos
DEFINICIÓN:
Un número complejo Z es un número par ordenado de número A y B, tal que:
Donde Z= (a, b) = (a+ bi)
PROPIEDADES:
a) La Unidad Imaginaria vale -1 y e le asigna la letra (i). En el conjunto de los números reales R es un polinomio o Ecuación algebraica. P(x) con coeficientes reales no tienen raíces reales, es decir Raíces Negativas.
Por ejemplo:X2 + 1= 0
Si nosotros despejamos este polinomio
X2 = -1 X =-1
Para los Números Reales, no existen raíces negativas dado que no hay una solución. Es por esto que se designa un número llamado (i) el cual cumpla con la condición de i2= -1, o lo que es lo mismo i = -1.
b) Los números reales A y B se denominan, respectivamente, Parte Real y Parte Imaginaria de NúmeroComplejo “Z”.
Es decir: Z=(a, b) = a + bi
a= Parte Real de Z = R (Z)
b= Parte Imaginaria de Z = Im (Z)
c) Los Números Complejos incluyen tanto a los Reales como a los Imaginarios.
d) Un par (x ,0), es un número real, un par (0, y) es un número Imaginario puro, un par (x, y) es un número imaginario cualquiera, es par (0, 1) es la unidad imaginaria i.
e) Elnúmero imaginario puede escribirse tanto de la forma Z= (a,b), como de la forma Z= (a+ bi).
OPERACIONES FUNDAMENTALES Y SUS PROPIEDADES:
* Adición de números complejos:
Para cada par de número Z1 y Z2 existe un número: Z3= Z1 + Z2 y definida así:

Z1= (a1, b1) = (a1+ b1i)
Z2= (a2, b2) = (a2 + b2i)
Z3= (a1, b1) + (a2 + b2)
= (a1 + a2, b1+b2)= (a1+ a2) + (b1 + b2)i
*Multiplicación de números complejos:
Para cada par de número Z1 y Z2 existe un número Z3= Z1*Z2 y Defina así:
Z1= (a1, b1) = a 1 + b1i
Z2= (a2, b2) = a2 + b2i
Z3= Z1*Z2= (a1, b1)* (a2, b2)
= (a1*a2- b1*b2, a1b2+ a2b2)
= (a1*a2 – b1*b2) + (a1b2+ a2b2)i

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN:

1. Elemento Identidad o Neutro
2. Ley Conmutativo
Z1 + Z2= Z2 + Z1
3.Ley Asociativa

Z1+ (Z2+ Z3)= (Z1+ Z2) +Z3
4. Ley Distributiva
No aplica a la adicción
5. Ley de Inverso
Z+ Zn= Zn+ Z=0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:
1. Elemento Identidad o netro
Z *1 = 1* Z (número Complejo 1 = (1, 0))
2. Ley Conmutativa
Z1*Z2 = Z2*Z1
3. Ley Asociativa
Z1* (Z2*Z3) = (Z1*Z2)*Z3
4. Ley Distributiva
Z1* (Z2+Z3) = Z1*Z2+ Z1*Z35. Ley Cancelativa
Z1*Z2 = Z1* Z3 Z2=Z3 (Si Z ≠ 0)
6. Ley del Inverso
Z* Z-1= Z-1*Z=1
El inverso multiplicativo, a partir de la definición de la multiplicación se deduce que es:

Z-1=aa2+b2 , aa2-b2

Potencias de i:
Todos sabemos que por definición:
I2= (-1)
I1=i

Entonces También debemos saber que:
i0= 1
i3= i2*i= (-1)* i = -i
i4= i2*i2= (-1)* (-1)= 1

Según la regla:NOTA: Se observa que a partir i4= 1 se comienza a repartir las potencias de i, ya que si verificamos:
i0=1 i4= (i)2.(i)2= 1
i1= i i5= (i)2. (i)3 = (-1)*- i= i
i2= (-1)*(-1) = 1 i6= (i)3*(I)3= (-i)*(-i)= i2
i3= i2*i=-I i7= (i)2*(i)2*(i)2*i= (-i)*(-i) (-i)*(i) = -i

Ejemplo 1

Hallar el valor de i4851erPaso se toma la potencia a la cual (i) este elevada y luego se divide entre (4), ya que a partir de la misma el ciclo de potencia vuelve a ser el mismo.

I485 4’8’5’/4
0 8 / 121 i485= i1= i
0 5
1 Residuo

Ejemplo 2

Hallar el valor de i76

7’6’ /4
3 6 19 i76= i0= 1
0 Residuo
Ejemplo 3
Hallarel valor de (i)3023

30’2’3’ /4
22 /755 i3023= i3= -i
2 3
3 Residuo

Ejercicios:
Resuelva las siguientes operaciones utilizando las propiedades del álgebra y la aritmética compleja.
a.- Evalúe las siguientes expresiones utilizando primero las reglas de la adición y de la multiplicación y luego utilizando la forma a+ bi de los números complejos.
* (3, 6) (2, 1)...