numeros de fibonacci

Bolet´ de la Asociaci´n Matem´tica Venezolana, Vol. VIII, No. 1 (2001)
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Olimpiadas de Matem´ticas:
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retos, logros (y frustraciones)
Mar´ Falk de Losada
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Olimpiadas Colombianas de Matem´ticas
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Universidad Antonio Nari˜o, Santaf´ de Bogot´, D.C., Colombia
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Consideraciones sobre los problemas de las Olimpiadas de
Matem´ticas
a
Hoy d´ las Olimpiadas deMatem´ticas son ampliamente conocidas, tanto en
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a
la comunidad de matem´ticos como en la comunidad en general, por el impacto
a
que han tenido y siguen teniendo en la transformaci´n de la forma en que el
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estudiante se percibe a s´ mismo y en que nosotros los maestros y profesores nos
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percibimos, y la creciente confianza que se tiene por parte y parte en nuestro
poder creativo y lasolidez de nuestro pensamiento matem´tico. Todos sabemos
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como la realizaci´n de olimpiadas llev´ a la consolidaci´n en Hungr´ de una de
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o
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las comunidades matem´ticas m´s productivas del siglo XX, reconocemos los
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nombres de Polya, Erd¨s, Pos´, y muchos m´s, formados en primera instano
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cia y marcados para siempre por estas competencias retadoras de soluci´n de
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problemasoriginales, singulares, desafiantes y bellos.
Las Olimpiadas han llegado a tomar muchas diferentes formas, desde pruebas r´pidas de selecci´n m´ltiple hasta pruebas de tipo investigativo de varias
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semanas de duraci´n, compuestas por tareas que colindan con o conllevan a
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problemas abiertos. Independientemente de la forma y envergadura que puedan
tener los problemas, la matem´tica eslo suficientemente amplia y el´stica que
a
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todos estos formatos permiten proponer problemas que estiran la capacidad del
estudiante hacia la superaci´n personal en matem´ticas. Aun las pruebas de
o
a
selecci´n m´ltiple (las cuales posibilitan que se organicen competencias con paro
u
ticipaci´n masiva) dan a cada estudiante la oportunidad de resolver problemas
o
sencillos, perointrigantes, propuestos en circunstancias que le son familiares.
Para corroborar este afirmaci´n mostramos un problema de selecci´n m´ltiple
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o
u
y uno investigativo ejemplares.
Escribimos una lista de todos los n´meros enteros entre 1 y 30 inclusive.
u
Luego tachamos algunos de los n´meros de tal manera que en la lista restante
u

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M. Falk de Losada

no hay ning´n n´mero que sea elduplo de otro. ¿Cu´l es la m´xima cantidad
u u
a
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de enteros que pueden pertenecer a la lista restante?
(A) 15

(B) 18

(C) 19

(D) 20

(E) 21

A pesar de ser de selecci´n m´ltiple, el an´lisis de este problema involucra
o
u
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algunas ideas muy bonitas, es posible generalizarla, resolverla argumentando
de varias formas distintas, actividades todas que enriquecen el pensamientomatem´tico del estudiante.
a
Por ejemplo, usando un arreglo como el siguiente se puede sustentar una
soluci´n y obtener ideas sobre las diferentes maneras en que puede generalizarse
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el problema.

1
3
5
7
9
.
.
.

2
6
10
14
18
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4
12
20
28
36
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.
.

8
24
40
56
72
.
.
.

16
48
80
112
144
.
.
.

32
96
160
224
288
.
.
.

64
172
320448
576
.
.
.

···
···
···
···
···

Si un estudiante ha participado en la competencia y ha encontrado interesante este problema, lo haya resuelto o no, se le abre una puerta hacia una
discusi´n matem´tica muy formativa que puede ser llamativa y as´ motivar al
o
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estudiante.
El segundo ejemplo que miraremos concierne un problema de la competencia
Math Challenges for YoungAustralians en la cual los estudiantes tienen tres
semanas para resolver los problemas propuestos. Generalmente los problemas
del concurso son complementados por preguntas adicionales fuera de concurso
(extensiones) que se espera sean estudiadas y resueltas por los estudiantes como
una actividad de enriquecimiento sin limitaci´n alguna de tiempo. Entre las
o
extensiones a veces se incluyen...