Numeros Figurados

NUMEROS FIGURADOS

INTRODUCCION
En la escuela de Pitágoras (siglo VI a.c.) fue demostrado el actualmente llamado Teorema de Pitágoras. Eso en su época generó interés en el estudio de aquellos números que podían ser representados como suma de dos cuadrados, en particular, de los llamados números cuadrados , representables geométricamente como disposición de puntos en configuraciones decuadrados como se ve en la siguiente.
 

Fig. 1 .
Los mismos Pitagóricos consideraban configuraciones geométricas de puntos como las correspondientes a los llamados números triangulares :

Fig. 2 .
y a los hexagonales:

Fig. 3 .
Si se observa tales configuraciones de puntos formados a su vez por sumas consecutivas de puntos fueron expresados, en la edad media, mediante los coeficientesbinomial que jugaron un importante papel en la combinatoria elemental precisamente a través de las combinaciones . A nivel de los Pitagóricos fueron consideradas no sólo configuraciones planas, sino que al concebir disposiciones espaciales generaron sucesiones de números aún más complicadas, por ejemplo con base en configuraciones triangulares generaban figuras piramidales como las pilas denaranjas en los tianguis de usanza tradicional.

Fig. 4 .
Sin embargo, mayores generalizaciones requería de introducir los espacios multidimensionales que quedaban totalmente fuera del alcance de la matemática de la antigua grecia.
A los números de esta introducción se les ha llamado números figurados y durante siglos han cautivado la atención de muchos matemáticos, muy particularmente en el sigloXVII Fermat dedujo algunas propiedades de dichos números. La demostración de algunos casos particulares formulados por Pascal fueron realizadas por Euler y Lagrange. Demostraciones generales aparecen sólo hasta Cauchy (s. XIX).
Números Poligonales .
Por Números Poligonales se identificará intuitivamente con los números asociados a configuraciones geométricas que semejan poligonos regulares.Números Triangulares ( T ).
Por números triangulares se entenderá a los números generados por la disposición de puntos en forma de triángulos equiláteros:

Fig. 5
Es evidente que el número de puntos generados por tales disposiciones son:
=1, =3, =6, =10, =15 , ...
donde representa el valor del número triangular -ésimo.
El problema que se propone es hallar la expresión general para elnúmero triangular -ésimo a través de .
Ideas a explorar:
i) La que el alumno proponga.
ii) Basarse en la génesis de la figura 5.
 
= 1, = + 2 = ( 1 ) + 2 = 3 , = + 3 = ( 3 ) + 3 = 6 , ..., = +
 
luego si se da como condición inicial a = 0 , entonces dándole a los valores
= 1 , 2 , . . . , n , se obtendrá:
- = 1,
- = 2,
- = 3,
.................
- = n
 
sumando término atérmino las expresiones anteriores se obtiene: - = 1 + 2 + 3 + . . . + n , esto es = 1 + 2 + 3 + . . . + n , donde esta última suma puede calcularse así:
= 1 + 2 + 3 + . . . + n
= n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + . . . + 1
sumando éstas últimas expresiones término a término se obtiene:
2 = n véces ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) , de donde =
iii) Disponer los puntos de los triángulos de manera distinta,Fig. 6 . completándolos a formar cuadrados e interpretarlos como áreas, interpretando " el área del triángulo puntual " como " la mitad del área del cuadrado " más " la mitad de la longitud de la diagonal del cuadrado " , luego:
 
= +
 

Fig. 6
iv) A partir de las diferencias sucesivas de los valores de los números triángulares, bajo la hipótesis de que alguna de tales diferencias se haceconstante.
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9.....
1 3 6 10 15 21 28 36 45 ....
2 3 4 5 6 7 8 9........
1 1 1 1 1 1 1............
por consiguiente:
=1
- =1
- - [ - ]=1
[ - ]=1+[ - ]
= 1 +
= 2 +
= (n-2) +
[ - ] = (n-2)+[ - ]
[ - ] = (n-2)+(3-1)
- = n
= +n
= [(n-1)+(n-2)+...+3+2]T[n-(n-1)]+n
= n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1
 
=
¿Habrá alguna manera geométrica de construir...