Numeros L

realesPROFESORA: Ximena Seballos Gallardo

NUMEROS REALES
DEFINICION: Numero real es todo elemento de un cuerpo (ℜ,+,.) cuya existencia la admitimos, que esta caracterizado por los Axiomas de Orden y el Axioma del Supremo. AXIOMAS DE CUERPO. Las propiedades que lo caracterizan son: De la adición. Para cada a, b, c reales, A.1. A.2. A.3. A.4. a+b = b+a a+(b+c) = (a+b)+c existe 0 ∈ ℜ tal que a+0= a existe –a ∈ ℜ tal que a + (-a) = 0 (conmutatividad), (asociatividad), (neutro aditivo), (opuesto),

De la multiplicación. Para cada a, b, c reales, M.1. M.2. M.3. M.4. ab = ba a (bc) = (ab) c existe 1 ∈ ℜ tal que 1. a = a existe a-1 ∈ ℜ tal que a. a-1 = 1, a ≠ 0 (conmutatividad), (asociatividad), (neutro multiplicativo), (inverso),

Propiedad que vincula las dos operaciones D. a (b+c) =a.b + a.c (distributividad).

DEFINICION: Sean Los reales a, b. (1) Llamase diferencia de a menos b, y se denota por a-b, al real a-b = a+ (-b) (2) Llamase cuociente de a dividido por b, y se denota
a o a:b, al real b

a = a b-1, b ≠ 0. b
En particular
1 b = b-1, = b b-1 = 1 b b

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De los axiomas de cuerpo y de las definiciones anteriores sededucen, entre otras, las siguientes proposiciones usuales del calculo algebraico elemental para reales a, b, c cualesquiera: 1. (a-b) + (b-c) = a – c, 2. a = c + b si y solo si a – b = c, 3. ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0, 4. (-a)b = -(ab). En particular : (-1)b =-b (-a)(-b) = ab. En particular (-1)(-1) = 1 5. a – (b – c + d) = a – b + c – d, 6. (a + b) (c + d) ac + ad + bc + bd En particular(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a+b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

7. a (b – c) ab – ac, 8. (a + b) (c – d) = ac – ad + bc – bd En particular (x + b) (x – b) = x2 – b2 (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 (a – b)3 = a3 – 3 a2 b + 3 a b2 – b3

9.

0 = 0 . b-1 = 0, b ≠ 0, b

10. (a b)-1 = a-1 b-1, ab ≠ 0, 11.
a c ac a a a c ac . = bd ≠ 0. Corol. = .1= . = , c ≠ 0 b d bd b b b c bc a ac (Se dice que se amplificopor c, y que se simplifico por c) b bc a c ad + bc 12. + = , bd ≠ 0 b d bd

a c ad 13. : = , bcd ≠ 0 b d bc

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Ejercicio Aplicando Prop 3, resuelva la ecuación : x2 + 2x = 0 AXIOMAS DE ORDEN Existe un subconjunto ℜ+ de ℜ , llamado conjunto de los reales positivos, que esta caracterizado por los siguientes axiomas: O.1. La suma de dos reales positivoses positivo (Ley de Adición) O.2. El producto de dos positivos es positivo (Ley de Multiplicación) O.3. Cada real: o bien es positivo, o bien tiene opuesto positivo, o bien es igual a cero (Ley de Tricotomía). DEFINICION: Lámase conjunto de los reales negativos, y se denota por ℜ− , al conjunto de los reales x tales que -x es positivo. Simbólicamente

x∈ℜ − ⇔ − x∈ℜ+
DEFINICION Se dice que elreal a es mayor que el real b, o que b es menor que a, y se escribe a>b o bb(respec, a < b). Además, si a es mayor o igual que b, b es menor o igual que a, se escribe a ≥ b o b ≤ a . Simbólicamente:

a > b ⇔ b < a ⇔ a − b ∈ℜ + ,
En particular:
a > 0 ⇔ a − 0 = a ∈ℜ+ ,

a ≥ b ⇔ b ≤ a ⇔ a − b ∈ ℜ + ∪ {0}

a < 0 ⇔ 0 − a = − a ∈ℜ + ⇔ a∈ℜ −

EJEMPLO. El entero –2 es mayor que –5, porque –2 –(-5) ∈ℜ + PROPOSICION (1) (2) Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

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EJERCICIO Determine la parte A de todos aquellos reales x tales que 3x – 1 > 5x DEFINICION Sean Los reales a, b tales que a < b. Se define: (1) Intervalo abierto:

(a, b) = {x∈ℜ : a < x < b}, (−∞, a ) = {x∈ℜ : x < a}, (b, ∞) = {x∈ℜ : b < x}, (−∞, ∞) =ℜ

(2)

Intervalo Cerrado: Los conjuntos

[a, b] = {x ∈ ℜ

: a ≤ x ≤ b}

{x∈ℜ : a < x ≤ b},

{x ∈ ℜ :a ≤ x < b}

reciben a veces el nombre, respectivamente, de “intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha”, y se denotan: (a, b], [a, b ). EJERCICIOS (1) Coloque la solución del ejercicio anterior como intervalo (2) Resuelva LA inecuación

(x + 3) (x −1) <

0...