numeros

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puededemostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de succesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales \mathbb{R}. Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existentepodía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.
Uno de losproblemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos \mathbb{C}, que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en lasformulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamentecomo un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.
Fuera de losnúmeros reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicacionespara resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de etos como octoniones y los sedeniones.
A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales como loshiperreales y los transfinitos.
Enumeración de los tipos[editar]
La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros. Mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:
Números naturales
Número primo
Números compuestos
Números perfectos
Números enteros
Númerosnegativos
Números pares
Números impares
Números racionales
Números reales
Números irracionales
Números algebraicos
Números trascendentes:
π
e
Extensiones de los números reales
Números complejos
Números hipercomplejos
Cuaterniones
Octoniones
Números hiperreales
Números superreales
Números surreales
Números usados en teoría de conjuntos
Números ordinales
Números cardinales...