Numeros

42 problemas resueltos de Algebra I (Teor´ de Grupos) ıa
Yolanda Fuertes y Dragan Vukoti´ c (con la ayuda de Ernesto Girondo) Universidad Aut´noma de Madrid, 2007/08 o
Algunos de los ejercicios aqu´ presentados se han visto en clase como ı proposiciones o teoremas. Otros se pueden encontrar en las hojas de problemas o en los ex´menes de a˜os anteriores. En general deber´ servir a n ıan paraprofundizar en la comprensi´n de los conceptos b´sicos y preparar o a los ex´menes. a Grupos. Propiedades b´sicas: conmutatividad, orden, subgrupos, a ´ ındice Problema 1. Si G es un grupo de orden par, demostrar que el n´mero de u sus elementos de orden 2 es impar. ´ Solucion. Los elementos de G pueden dividirse en dos clases disjuntas: Q = {x ∈ G : x2 = e} y G \ Q. Si x ∈ Q, entonces x = x−1 yo(x−1 ) = 2. Por lo tanto, los elementos de Q van emparejados: cada x con su inverso x−1 ; es decir, hay un n´mero par de ellos. Se sigue que el n´mero de elementos u u 2 = e) tambi´n es par. De todos ellos, en x ∈ G \ Q (para los cuales x e solamente x = e no es de orden 2. Conclusi´n: G contiene un n´mero impar o u de elementos de orden 2. Problema 2. Sea G un grupo de orden impar. Demostrar que paracada x ∈ G existe y ∈ G tal que y 2 = x. x2n−1 ´ Solucion. Sea |G| = 2n − 1, n ∈ N. Entonces para todo x ∈ G se tiene = e, es decir, x2n = x. Por consiguiente, basta tomar y = xn .

Problema 3. Sea G un grupo y H, K ≤ G tales que |H| = 38 y |K| = 55. Demostrar que H ∩ K = {e}. ´ Solucion. H ∩K es un subgrupo tanto de H como de K. Por el Teorema de Lagrange, deducimos que |H ∩K| tiene que dividirtanto a |H| = 38 como a |K| = 55. Pero 38 = 2 × 19 y 55 = 5 × 11 son coprimos, luego la unica ´ posibilidad es |H ∩ K| = 1, es decir H ∩ K = {e}. 1

Problema 4. Denotemos, como es habitual, por HK al conjunto {hk : h ∈ H, k ∈ K}. Si G es un grupo y H, K ≤ G, demu´strese que HK ≤ G si y e s´lo si HK = KH. o ´ Solucion. (⇒): Sea HK ≤ G. Vamos a demostrar que HK = KH. Si a ∈ KH entonces a = kh, k∈ K, h ∈ H. Por tanto, a−1 = h−1 k −1 ∈ HK (siendo H un grupo y h ∈ H, se sigue que h−1 ∈ H y an´logamente para a K). Puesto que HK ≤ G, tambi´n tenemos que el inverso de a−1 pertenece e a HK: a = (a−1 )−1 ∈ HK. Esto demuestra que KH ⊂ HK. Veamos ahora que HK ⊂ KH: si b ∈ HK entonces b−1 ∈ HK por ser HK ≤ G; por consiguiente, b−1 = hk, para ciertos elementos h ∈ H, k ∈ K. Por tanto, b = (b−1 )−1= k −1 h−1 ∈ KH. (⇐): Supongamos ahora que HK = KH. Para probar que HK ≤ G, utilizaremos el criterio habitual: demostraremos que a, b ∈ HK implica ab−1 ∈ HK. Si a, b ∈ HK, entonces a = hk, b = xy, h, x ∈ H, k, y ∈ K. Por tanto, x−1 ∈ H, ky −1 ∈ K, luego (ky −1 )x−1 ∈ KH = HK; por consiguiente, (ky −1 )x−1 = uv, u ∈ H, v ∈ K. Finalmente, ab−1 = (hk)(y −1 x−1 ) = h(ky −1 )x−1 = (hu)v ∈ HK , lo cualcompleta la prueba. Problema 5. (a) Hallar un ejemplo de un grupo G infinito en el cual existe exactamente un elemento de orden 2. (b) Dar un ejemplo de un grupo G infinito en el cual todo elemento, salvo el neutro, tiene orden 2. ´ Solucion. (a) Sea G = Z ⊕ Z2 , suponiendo las operaciones aditivas habituales en Z y Z2 . Es f´cil comprobar que a = (0, 1) es el unico elemento a ´ en G de orden 2; porejemplo, todo elemento (a, 1) con a = 0 tiene orden infinito, etc. (b) Sea G el conjunto de todas las sucesiones de n´meros ±1: u G = {x = (xn )∞ : xn = −1 ´ 1 , para todo n ∈ N} , o n=1 con la operaci´n de multiplicaci´n definida por coordenadas: o o x · y = (xn · yn )∞ n=1 Entonces es obvio que G es cerrado respecto a la operaci´n definida, ya que o (±1) × (±1) = (±1), la multiplicaci´n esasociativa, la sucesi´n estacionaria o o 1 = (1, 1, 1, . . .) act´a como neutro y cada elemento de G es obviamente su u propio inverso, ya que x · x = ((±1)2 )∞ = 1. n=1 2

Problema 6. Si n ∈ N y G es un grupo que tiene un unico elemento a de ´ orden n, demostrar que a ∈ Z(G) y n = 2. ´ Solucion. Recordemos que o(a) = o(xax−1 ) para cualquier x ∈ G. Puesto que a es el unico elemento en G de orden...