Números complejos

NÚMEROS COMPLEJOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS

PRIMERA PARTE
CHAVOS!!!!! Un poco de teoría para recordar:….. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS. La unidad de los números imaginarios es −1 y se representa, en general por la letra i . Muchas de las propiedades de los números reales son válidas también en los números imaginarios. Por ejemplo:
−4 = 4( − ) =2 −1 =2i , 1 −1 = 1 ( − ) = 1 8 8 1 8 −1 =9( 2) −1 =3 2 i .

También como i = −1 , se tiene que: i 2 = −1 ,

i 3 = i 2 ⋅ i = ( −1)i = −i ,
i 4 = ( i 2 ) 2 = ( −1) 2 = 1 ,

i 5 = i 4 ⋅ i =1 ⋅ i = i,
i 6 = i 4 ⋅ i 2 =1( −1) = −1 , y así sucesivamente para cualquier potencia entera de i .

Se debe tener cuidado al aplicar algunas de las propiedades de los números reales, por ejemplo, se puede pensar que:
−4 −4 = ( − )( − ) = 1 =4, lo cual es incorrecto. 4 4 6

Para salvar estas dificultades, conviene expresar siempre m i ; siendo i 2 = −1 . Así pues:
−4 −4 = 4( − ) 1 4( − ) = 1

− m , donde

m es

un número positivo, por

(

4 −1

)(

4 −1 = ( 2i )( 2i ) = 4i 2 = − , lo cual es correcto. 4

)

NÚMERO COMPLEJO: Es un número de la forma a + bi , siendo a y b números reales, e i = −1 . En el númerocomplejo a + bi , a recibe el nombre de parte real y b i el de parte imaginaria. Si a = 0 , el número complejo se llama imaginario puro. Si b =0 , el número complejo se reduce al número real a . Por consiguiente, en los números complejos están incluidos todos los números reales y todos los imaginarios puros. NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES. La condición necesaria y suficiente para que los números complejos a+ bi y c + di sean iguales es que a = c y b =d . Así que a + bi = 0 si y solo si a = 0 y b = 0 . Si c + di = 3 , se tendrá que c =3 y d = 0 . CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO: El número complejo a + bi es conjugado de a − bi , y recíprocamente. Por ejemplo, 5 − 3i es el conjugado de 5 + 3i . OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS. SUMA. Para sumar dos números complejos se suman, por unaparte las partes reales y, por otra, las imaginarias. Ejemplos: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i

M. EN C. REY F. GARCIA MENDEZ

NÚMEROS COMPLEJOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS

(5 + 4i ) + (3 + 2i ) = (5 + 3) + ( 4 + 2)i = 8 + 6i ( −4 + 3i ) + (2 − 6i ) = (−4 + 2) + (3 − 6) i = −2 − 3i
RESTA. Para restar dos números complejos se restan, por una parte las partes reales y, por otra,las imaginarias. Ejemplos: (a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d ) i

(5 + 4i ) − (3 + 2i ) = (5 − 3) + ( 4 − 2) i = 2 + 2i ( −4 + 3i ) − ( 2 − 6i ) = (−4 − 2) + (3 + 6) i = −6 + 9i
MULTIPLICACIÓN. Para multiplicar dos números complejos, se realiza la multiplicación como si fueran dos binomios, y en el producto se sustituye i 2 por −1 . Ejemplos:
(a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci + bdi
2= ac + (ad + bc ) i + bd ( −1) = (ac − bd ) + (ad + bc ) i

(5 + 4i )( 3 + 2i ) =15 +10 i +12 i + 8i 2 =15 + 22 i + 8( −1) = 7 + 22 i ( −4 + 3i )( 2 − 6i ) = −8 + 24 i + 6i −18 i 2 = − + 30 i −18 ( − ) =10 + 30 i 8 1

DIVISIÓN. Para dividir dos números complejos, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i 2 por −1 . Ejemplos:

2 +i ( 2+ i )( 4 + 3i ) 8 + 6i + 4i + 3i 2 5 + 10 i 5(1 + 2i ) 1 + 2i 1 2 = = = = = = + i 4 - 3i (4 − 3i )( 4 + 3i ) 25 25 5 5 5 16 − 9i 2 1 - 2i (1 − 2i )( 3 − i ) 3 − i − 6i + 2i 2 1 − 7 i 1 7 = = = = − i 2 3+i (3 + i )( 3 − i ) 10 10 10 9 −i
EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS. (EJERCITEN TODOS LOS NECESARIOS) 1.- Expresar en función de i 1 a) −25 = 25 ( − ) =5i d)

b) 3 −36 = e)
−12 − − 3 =

c) −4−162 = f) 3 −50 + 5 −18 − 6 − 200 =

−

1 = 2 16 49 −3 − = 25 100

g) 2 −

h)

8 + −8 =

i)

1 4

(

32 + − 128 =

)

j) 3 12 − 3 −12 =

k) 2 − 72 + 3 −32 =

2.- Efectuar las operaciones indicadas y simplificar. a) (3 − 2i ) + (6 + 3i ) = d) (−9 − 3i ) + (9 + 4i ) = (a + bi ) − (a − bi ) = b) (7 − 3i ) − (5 − 4i ) = e) (a + bi ) + (a − bi ) = c) (3 − 5i ) − ( −2 − 7 i )...