Números Enteros
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Publicado: 6 de noviembre de 2013
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
Consideremos el siguiente problema:
Hallar el número que sumado a 5 sea igual a 3: 5 + X = 3
Este problema no tiene solución en el conjunto de los números naturales, ya que si sumamos un natural a 5 obtendremos otro natural mayor que 5, y 3 es menor que 5. Este problema es análogo a querer calcular la resta 3 − 5. Es decir, ninguna resta en laque el sustraendo sea mayor o igual que el minuendo puede ser resuelta en el conjunto de los naturales.
Desearíamos que la ecuación m + ☼ = n con m; n N tuviera siempre una solución Esto no es cierto si sólo disponemos de los números naturales; en particular la ecuación m + ☼ = 0 sólo tiene solución cuando m = 0.
Para que ecuaciones de este tipo tengan siempre solución (que tendrá queser única por las propiedades básicas de la adición que queremos conservar) introduciremos nuevos «números» que representaremos colocando una rayita, delante de cada números natural distinto de cero; obtenemos así,
-1, -2, -3, -4, ….
(- 0 no es necesario, por cuanto la ecuación 0 + ☼ = 0 ya tiene solución en IN). El símbolo -m «menos m ») con m N, representará la única solución de laecuación m + ☼ = 0; esto es, el único número que sumado con m da cero.
De esta manera se obtiene un nuevo conjunto
Z = {…. – 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 …. } cuyos elementos llamaremos números enteros; los nuevos números, -1 , -2 , …, se llaman enteros negativos, y los naturales no nulos, se llaman enteros positivos.
La introducción de los números enteros negativos y el cero sirviópara resolver este tipo de problemas. En primer lugar, el 0 es el número que sumado a cualquier natural da el mismo natural:
3 + 0 = 3,
125 + 0 = 125.
Así queda definida la adición de un natural con el 0 y la resta entre dos naturales iguales:
3 − 3 = 0,
125 − 125 = 0.
Además, para cada natural consideramos el opuesto como el número que sumado a él da 0. Así por ejemplo, el número quesumado a 1 da como resultado 0 se lo denota −1 y es el opuesto al número natural 1. El opuesto de 2 es −2, el de 3 es −3 y así sucesivamente. Todos los opuestos de los números naturales se denominan enteros negativos, y a los naturales se los denomina enteros positivos. Así, los enteros negativos, los positivos y el cero dan lugar al conjunto de los Números Enteros. Además, así como −3 es el opuestode 3, también decimos que 3 es el opuesto de −3, y que el 0 es el opuesto de si mismo.
Las operaciones de adición y de multiplicación se extienden a este nuevo conjunto, y la resta queda bien definida entre cualquier par de números enteros.
La resta entre dos números enteros se define como la adición de un número y el opuesto del otro:
1 − 4 = 1 + (−4) = −3,
−7 − 15 = −7 + (−15) = −22.Si bien la resta es una operación cerrada en el conjunto de los enteros, no cumple con las propiedades asociativa ni conmutativa.
Orden en Z
Así como en los naturales existe un orden natural:
1 < 2,
2 < 3,
3 < 4, etc,
En los enteros también hay un orden compatible con el de los naturales. Los enteros conforman una sucesión infinita de números, donde cada elemento tiene un sucesorque se obtiene sumando 1 al número, y un antecesor, que se obtiene restándole 1. Por ejemplo, −7 es el antecesor de −6 pues −6 − 1 = −7, y −5 es el sucesor de −6 pues −6 + 1 = −5.
En el conjunto de los números enteros están definidas entonces las operaciones de adición y de multiplicación, y satisfacen las mismas propiedades que se satisfacen para los números naturales.
En el conjunto delos números enteros, destacamos dos elementos que cumplen ciertas propiedades especiales: el 0 y el 1.
Propiedad del número 0
Elemento Neutro para la adición: Si lo sumamos con cualquier número se obtiene el mismo número. Por ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4.
Multiplicación por Cero: La multiplicación por cero siempre da como resultado cero.
Por ejemplo: 6 · 0 = 0, (−3) · 0 = 0....
Consideremos el siguiente problema:
Hallar el número que sumado a 5 sea igual a 3: 5 + X = 3
Este problema no tiene solución en el conjunto de los números naturales, ya que si sumamos un natural a 5 obtendremos otro natural mayor que 5, y 3 es menor que 5. Este problema es análogo a querer calcular la resta 3 − 5. Es decir, ninguna resta en laque el sustraendo sea mayor o igual que el minuendo puede ser resuelta en el conjunto de los naturales.
Desearíamos que la ecuación m + ☼ = n con m; n N tuviera siempre una solución Esto no es cierto si sólo disponemos de los números naturales; en particular la ecuación m + ☼ = 0 sólo tiene solución cuando m = 0.
Para que ecuaciones de este tipo tengan siempre solución (que tendrá queser única por las propiedades básicas de la adición que queremos conservar) introduciremos nuevos «números» que representaremos colocando una rayita, delante de cada números natural distinto de cero; obtenemos así,
-1, -2, -3, -4, ….
(- 0 no es necesario, por cuanto la ecuación 0 + ☼ = 0 ya tiene solución en IN). El símbolo -m «menos m ») con m N, representará la única solución de laecuación m + ☼ = 0; esto es, el único número que sumado con m da cero.
De esta manera se obtiene un nuevo conjunto
Z = {…. – 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 …. } cuyos elementos llamaremos números enteros; los nuevos números, -1 , -2 , …, se llaman enteros negativos, y los naturales no nulos, se llaman enteros positivos.
La introducción de los números enteros negativos y el cero sirviópara resolver este tipo de problemas. En primer lugar, el 0 es el número que sumado a cualquier natural da el mismo natural:
3 + 0 = 3,
125 + 0 = 125.
Así queda definida la adición de un natural con el 0 y la resta entre dos naturales iguales:
3 − 3 = 0,
125 − 125 = 0.
Además, para cada natural consideramos el opuesto como el número que sumado a él da 0. Así por ejemplo, el número quesumado a 1 da como resultado 0 se lo denota −1 y es el opuesto al número natural 1. El opuesto de 2 es −2, el de 3 es −3 y así sucesivamente. Todos los opuestos de los números naturales se denominan enteros negativos, y a los naturales se los denomina enteros positivos. Así, los enteros negativos, los positivos y el cero dan lugar al conjunto de los Números Enteros. Además, así como −3 es el opuestode 3, también decimos que 3 es el opuesto de −3, y que el 0 es el opuesto de si mismo.
Las operaciones de adición y de multiplicación se extienden a este nuevo conjunto, y la resta queda bien definida entre cualquier par de números enteros.
La resta entre dos números enteros se define como la adición de un número y el opuesto del otro:
1 − 4 = 1 + (−4) = −3,
−7 − 15 = −7 + (−15) = −22.Si bien la resta es una operación cerrada en el conjunto de los enteros, no cumple con las propiedades asociativa ni conmutativa.
Orden en Z
Así como en los naturales existe un orden natural:
1 < 2,
2 < 3,
3 < 4, etc,
En los enteros también hay un orden compatible con el de los naturales. Los enteros conforman una sucesión infinita de números, donde cada elemento tiene un sucesorque se obtiene sumando 1 al número, y un antecesor, que se obtiene restándole 1. Por ejemplo, −7 es el antecesor de −6 pues −6 − 1 = −7, y −5 es el sucesor de −6 pues −6 + 1 = −5.
En el conjunto de los números enteros están definidas entonces las operaciones de adición y de multiplicación, y satisfacen las mismas propiedades que se satisfacen para los números naturales.
En el conjunto delos números enteros, destacamos dos elementos que cumplen ciertas propiedades especiales: el 0 y el 1.
Propiedad del número 0
Elemento Neutro para la adición: Si lo sumamos con cualquier número se obtiene el mismo número. Por ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4.
Multiplicación por Cero: La multiplicación por cero siempre da como resultado cero.
Por ejemplo: 6 · 0 = 0, (−3) · 0 = 0....
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