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Geometria y Algebra Lineal 1 2007 - practico 9

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Generadores, independencia lineal, bases y dimensi´n o
Ejercicio 1. Hallar un generador del subespacio S
1. S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z =0} 2. S = {(a, b, c, d) ∈ C4 : 2ia = b, c + d − ib = 0} 3. S = {p ∈ R3 [x] ; p(1 − x) = p(1 + x), ∀x ∈ R} 4. S = {p ∈ R3 [x] ; p(0) = 0, } 5. S = {A ∈ M3×3 (R) : A es sim´trica } e 6. S = {A ∈ M3×3(R) : A es antisim´trica } e

Ejercicio 2. Determinar cu´les de las funciones reales exp(x), sen2 (x) y tan(x), definidas en (−π/2, π/2), a
pueden expresarse como combinaci´n lineal de la familia o{sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x)} .

Ejercicio 3. Escribir el vector v como combinaci´n lineal del conjunto A. o
1. A = {3x3 + x, −2x2 + x − 1, 3x3 − 2x2 + 2x − 1} y v = −3x3 + 4x2 + x − 2. 2. A = 10 0 1 , 0 −1 1 0 , 1 −2 2 1 yv= 2 −1 1 2

Ejercicio 4. El conjunto A dado genera un subespacio S. Eliminar elementos de A hasta conseguir
un generador de S donde ning´n elemento sea combinaci´nlineal de los dem´s. u o a 1. 1 0 −1 0 , 0 1 −1 2 , 0 −1 0 −1 , 3 −1 −2 1 .

2. {x2 − 1, x3 + 2x, x, x3 + x, 2x2 − 1}.

Ejercicio 5. Determinar que vectores de la familia linealmente dependiente
A= x3 + x + 1, x3 + x2 , −2x3 + x + 1, x3 + 3x2 + x + 1 ⊂ R[x], pueden expresarse como combinaci´n lineal de los restantes. o

Ejercicio 6. Determinar si el conjunto de vectores A es un generador delespacio vectorial V .
1. V = R3 , A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. 2. V = R3 , A = {(0, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 1), (1, −1, 1)}. 3. V = M2×2 (R), A = 4. V = M2×2 (R), A = 2 1 0 0 1 0 1 0 , , 0 2 1 0 0 12 0 , , 3 −1 0 0 4 −1 3 0 , , 0 3 −2 6 0 1 5 0

Ejercicio 7. Hallar un generador del subespacio S
1. S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} 2. S = {(a, b, c, d) ∈ C4 : 2ia = b, c + d − ib = 0}

23. S = {p ∈ R3 [x] ; p(1 − x) = p(1 + x), ∀x ∈ R} 4. S = {p ∈ R3 [x] ; p(0) = 0, } 5. S = {A ∈ M3×3 (R) : A es sim´trica } e 6. S = {A ∈ M3×3 (R) : A es antisim´trica } e

Geometria y Algebra...